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三线性坐标

给定一个参考三角形 德尔塔ABC，点的三线坐标P（P）关于德尔塔ABC是订购的吗三倍的属于数字，每个数字都是成比例的向被指导者距离P（P）到其中一条边线。表示三线坐标α：β：γ或（α、β、γ）也被称为同质坐标或“三线性”。三线性坐标是由普吕克引入的1835年。因为只有距离的比率才是重要的，所以三元组通过将给定的三元组乘以任何非零常数获得的三线性坐标描述了同一点，所以

alpha:beta:gamma=mualpha:mubeta:mugamma。
(1)

为了简单起见，这三个多边形顶点 A类,B类，以及C类三角形的1:0:0,0点10分，以及0:0:1分别是。

三线区域

可以对三线坐标进行归一化，以便它们给出实际的定向距离P（P）到每一侧。要执行规范化，请让点P（P）在上图中有三线坐标α：β：γ并躺在远处“^”,b^'，以及“抄送”从侧面不列颠哥伦比亚省,自动控制，以及AB公司分别是。然后是距离a^'=卡尔帕,b^'=kbeta，以及c ^’=千克米可以通过书写找到增量（_a）对于地区属于德尔塔BPC和类似的增量（_b）和增量（_c）。然后我们有

三角洲=增量_a+增量_b+增量_c
(2)
=1/2aa^'+1/2bb^'+1/2立方^'
(3)
=1/2（akalpha+bkbeta+ckgamma）
(4)
=1/2k（aalpha+bbeta+cgamma）。
(5)

所以

k=（2海拔）/（aalpha+bbeta+cgamma），
(6)

哪里三角洲是地区属于德尔塔ABC和一,b条，以及c（c）是其侧面的长度（Kimberling 1998，第26-27页）。要获得给出实际距离的三线坐标，请取k=1，所以我们有了坐标

a^'：b^'：c^'。
(7)

这些标准化三线坐标称为准确的三线坐标.

直线的三线坐标

ux+vy+wz=0
(8)

是

u： v:w＝ad_A:bd_B:cd_C，
(9)

哪里di（数字）是点线距离从多边形顶点 我到线.

同质的重心坐标对应于三线坐标α：β：γ是（aalpha、bbeta、cgamma），以及对应的三线坐标到同质重心坐标 （t1、t2、t3）是t1/a:t2/b:t3/c.

重要事项α：β：γ三角形的三角形中心，以及矢量函数描述了点在边长方面的位置，角度或两者都称为三角形中心功能 f（a、b、c）.由于对称性，三角形中心函数的形式如下

f（a，b，c）=f（a、b、c）：f（b、c、a）：f，
(10)

通常调用标量函数f（a、b、c）三角形中心函数。另请注意边长和角度可以通过法律余弦的，因此可以根据边长给出三角形中心函数，角度，或两者兼而有之。总结了一些常见三角形中心的三线坐标在下表中，其中A类,B类，以及C类是对应顶点处的角度一,b条，以及c（c）是相反的边长。这里，标准化有被选中以给出一个简单的形式。

三角形中心三角形中心函数
圆心 O（运行）cosA公司
判定元件Longchamps点cosA-cosBcosC
平等的迂回点秒（1/2A）cos（1/2B）cos
费尔巴哈点 F类1-cos（B-C）
插入器 我1
等周点秒（1/2A）cos（1/2B）cos
symmedian点 K一
九分中心 N个cos（B-C）
正心 H（H）cosBcosC公司
三角形质心 G公司cscA公司,每年1次
三线式边线

在三线坐标中，顶点的坐标为1:0:0(A类), 0:1:0 (B类)和0:0:1(C类). 沿边线延伸一段距离d日具有如上所示的三线性。

三线坐标边

点的三线性坐标分数距离k_a（千安）,k_b，以及千立方厘米上图中给出了边线，其中k_i ^'=1-k_i.

位于分数上的点k边线距离自动控制从A类到C类具有三线坐标

（1-k）/a:0:k/c。
(11)
三线坐标

要确定三线坐标到笛卡尔坐标的转换，请使用不列颠哥伦比亚省轴平行于x个-轴及其插入器在原点，如上所示。然后

x个=（kbeta-r+（kalpha-r）cosC）/（sinC）
(12)
年=卡尔帕-r，
(13)

哪里

r=（2增量）/（a+b+c），
（14）

是半径（inradius）,三角洲是三角形面积，并且

k=（2海拔）/（aalpha+bbeta+cgamma）
(15)

（金伯利，1998年，第31-33页）。

更一般地说，要将三线坐标转换为给定三角形的矢量位置x个-和年-其轴的坐标，选择两个单元向量沿着侧面。例如，选择

一个^^=[a_1；a_2]
(16)
c（c）^^=[c1；c2]，
(17)

这些是在哪里单位向量 不列颠哥伦比亚省和AB公司.假设三角形已经是标记为A=x_1是最右上方多边形顶点和C=x_2.然后向量通过旅行获得发光二极管和信用证沿侧面然后向内垂直的他们必须见面

[x1；y1]+lc[c1；c2]-kgamma[c2；-c1]=[x2；y2]+la[a1；a2]-kalpha[a2；-a1]。
(18)

求解这两个方程

x_1+l_cc1-kgamac_2=x2+laa1-kalphaa2
(19)
y_1+l_cc_2+γ_1=y2+laa2+kalphaa1，
(20)

给予

洛杉矶=（kalpha（a1c1+a2c2）-gammak（c1^2+c2^2）+c2（x1-x2）+c1（y2-y1））/（a1C2-a2c1）
(21)
信用证=（kalpha（a1^2+a2^2）-gammak（a1c1+a2c2）+a2（x1-x2）+a1（y2-y1））/（a1C2-a2c1）。
（22）

但是一个^^和c（c）^^是单位向量，所以

洛杉矶=（kalpha（a1c1+a2c2）-gammak+c2（x1-x2）+c1（y2-y1））/（a1C2-a2c1）
(23)
信用证=（kalpha-gammak（a1c1+a2c2）+a2（x1-x2）+a1（y2-y1））/（a1C2-a2c1）。
(24)

以及矢量点的坐标α：β：γ那么是

x=x_1+lc[c1；c2]-kgamma[c2；-c1]。
(25)

另请参见

区域坐标,重心坐标,精确三线性坐标,主三角形中心,正中的协调,功率曲线,四边形协调,参考三角形,常规三角形中心,三角形,三角形居中,三角形中心函数,三线形,三线性极地,三线性顶点矩阵,三极坐标

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工具书类

C.B.博伊尔。解析几何史。纽约：Yeshiva大学，1956年。凯西，J.《一般方程——三线性坐标》第10章A类关于点、线、圆和圆锥截面的解析几何的论述，包含其最新扩展的帐户，并有许多示例，第2编辑，修订版。都柏林：Hodges，Figgis，&Co.，第333-3481893页。柯立芝，J·L·。A类代数平面曲线论。纽约：多佛，第67-71页，1959年。考克塞特，H.S.公司。M。介绍几何，第2版。纽约：威利出版社，1969年。科克塞特，H.S。M。“三线性坐标的一些应用。”线性代数应用。 226-228,375-388, 1995.Kimberling，C.“中心点和中心线在三角形平面上。"数学。美格。 67, 163-187, 1994.金伯利，C.“三角形中心和中心三角形”恭喜。数字。 129,1-295, 1998.Wong，M.K。F、。国际数学杂志。教育。科学。技术。 27,293-296, 1996.Wong，M.K。F、。国际数学杂志。教育。科学。技术。 29,143-145, 1998.

参考Wolfram | Alpha

三线性坐标

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“三线坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html

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