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第二类斯特林数

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对一组n个元素到米非空的套（即。，米 设置块)也叫斯特林设置编号。例如设置 {1,2,3}可以分为三部分子集以一种方式：{{1},{2},{3}}; 变成两个子集在里面三种方式：{{1,2},{3}},{{1,3},{2}}、和{{1},{2,3}}; 然后变成一个子集以一种方式：{{1,2,3}}.

第二类斯特林数的表示方式各不相同S（n，m）（里尔丹1980年，罗马1984年），S_n^（（m））（Fort 1948；Abramowitz和Stegun 1972，第822页），S_n ^m（_n ^m）（约旦1965年），s_n^（（米））,S_2（n，m），或Knuth符号{n；m}（格雷厄姆等。1994; Knuth 1997，第65页）。Abramowitz和Stegun（1972年，第822页）总结了各种符号惯例，这可能有点令人困惑。实现了第二类斯特林数在中Wolfram语言作为箍筋S2[n个,米]，并表示S_n^（（m））.

三种元素的第二类斯特林数为

S（3.1）=1
(1)
S（3.2）=三
(2)
S（3,3）=1
(3)

自从一组n个元素只能以单一方式划分为1或n个 子集,

S（n，1）=S（n、n）=1。
(4)

其他特殊情况包括

S（n，0）=增量_（n0）
(5)
S（n，2）=2^（n-1）-1
(6)
S（n，3）=1/6（3^n-3·2^n+3）
(7)
S（n，n-1）=（n；2）。
(8)

第二类斯特林数的三角形是

11 11 3 11 7 6 11 15 25 10 11 31 90 65 15 1
(9)

（组织环境信息系统A008277号)，的n个第行对应于贝尔多项式的 φn（x）.

第二类斯特林数可以从和中计算出来

S（n，k）=1/（k！）总和_（i=0）^k（-1）^i（k；i）（k-i）^n，
(10)

具有（n；k）一二项式系数，或生成功能

x ^n个=总和_（m=0）^（n）S（n，m）（x）_m
(11)
=总和_（m=0）^（n）S（n，m）x（x-1）。。。（x-m+1），
(12)

哪里（x） _米是下降阶乘（罗马1984年，第60页和101），

sum_（n=k）^inftyS（n，k）（x^n）/（n！）=1/（k！）（e^x-1）^k，
(13)

和

sum_（n=1）^（infty）S（n，k）x^n=sum_（n=k）^（infty）S（n，k）x^n
(14)
=（x^k）/（（1-x）（1-2x）。。。（1千倍）
(15)
=（（-1）^k）/（（x-1）/x）_k）
(16)

对于z<1/m（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第824页；斯坦利1997年，第57页），其中（x） _米是一个Pochhammer符号.另一个生成函数由下式给出

sum_（k=1）^nS（n，k）（k-1）！z^k=（-1）^nLi_（1-n）（1+1/z）
(17)

对于n> =2,哪里Li_n（z）是多对数.

第二类斯特林数与泊松分布通过多宾斯基公式

B_n（x）=总和_（k=0）^nx^kS（n，k）
(18)

哪里B_n（x）是一个贝尔多项式.

斯特林数第二类

上图（Dickau）说明了第二类斯特林数的定义S（n，m）对于n=3和4。第二类斯特林数服从重现关系

S（n，k）=S（n-1，k-1）+kS（n-1，k）
(19)
S（n，k）=sum_（m=k）^（n）k^（n-m）S（m-1，k-1）。
(20)

这个第一类斯特林数 秒（n，m）与第二类斯特林数有关S（n，m）例如，矩阵（s） _（i，j）和（S） _（i，j）是倒数属于彼此，在哪里（A） _（ij）表示矩阵（i，j）第个条目艾，j）对于i、 j=1, ...,n个（G.Helms，pers.comm.，2006年4月28日）。

其他公式包括

s（n，i）=总和_（k=i）^nsum_（j=0）^ks（n，k）s（k，j）s（j，i）
(21)
S（n，i）=总和_（k=i）^nsum_（j=0）^kS（n、k）S（k，j）S（j，i）
(22)

（罗马1984年，第67页），以及

S（n，m）=sum_（k=0）^（n-m）（-1）^k（k+n-1；k+n-m）
(23)
s（n，m）=sum_（k=0）^（n-m）（-1）^k（k+n-1；k+n-m）
(24)
sum_（l=0）^（max（k，j）+1）s（l，j）s（k，1）=增量_（jk）
(25)
sum_（l=0）^（max（k，j）+1）s（k，l）s（l，j）=增量_（jm）。
(26)

涉及第二类斯特林数的恒等式如下所示

总和_（m=1）^n（-1）^m（m-1）！S（n，m）=0
(27)
sum_（k=0）^nk！（m+1；k+1）S（n，k）=H_（m，-n），
(28)

哪里H_（n，r）是广义的谐波数、和

f（m，n）=sum_（k=1）^（infty）k^n（m/（m+1））^k
(29)
=（m+1）和_（k=1）^（n）k！S（n，k）m^k。
(30)

序列f（1，n）由2、6、26、150、1082、9366、94586、1091670给出，…（OEIS）A000629号; 孔豪塞等。1996,第174页），最后只能有0、2或6数字（Riskin 1995）。由于K.A.的一个额外的奇怪身份。彭森（pers。comm.，2002年4月10日）由

sum_（k=0）^inftyk^n[k+1-（伽马（k+2.1））/（伽玛（k+1））]=sum_
(31)

对于n=0,1, ..., 哪里伽马（a，x）是一个不完整的伽马函数,伽马（x）是一个伽马函数,和千^n为1k、 n=0.

第二类斯特林数也出现在涉及微分算子 θ=zd/dz.

另请参见

铃声号码,贝尔多项式,组合锁,互补的铃声号码,微分算子,Lengyel常数,最小封面,泊松分布,斯特林第一类数量,斯特林多项式,斯特林变换

Wolfram相关网站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/StirlingS2/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《第二类斯特林数》§24.1.4手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第824-825页，1972年。巴特泽，P.L。和豪斯，M.“第一类和第二类斯特林函数；一些新应用。”以色列数学会议论文集：近似、插值和阿蒙诺·贾基莫夫斯基（Amnon Jakimovski）65岁生日致敬（编辑S.Baron和D.Leviatan）。Ramat Gan，以色列：IMCP，第89-108页，1991年。卡利茨，L.“关于诺伦德[sic]多项式的注记B_n^（（z））."程序。阿默尔。数学。Soc公司。 11, 452-455,1960康泰特，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，1974年。康威，J.H。和盖伊·R·K。在这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第91-92页，1996年。迪考，风险管理。“第二类斯特林数。”http://mathforum.org/advanced/robertd/stirling2.html.迪考，R.“可视化组合枚举。”教育数学。物件。 8,11-18, 1999.T·福特。有限实域中的差分和差分方程。英国牛津：克拉伦登出版社，1948年。古尔德·H·W·。“斯特林数表示法问题。"程序。阿默尔。数学。Soc公司。 11, 447-451, 1960.格雷厄姆，共和国。；Knuth，D.E。；和Patashnik，O.“斯特林数”§6.1在里面混凝土数学：计算机科学基金会，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第257-267页，1994年。约旦，C。微积分有限差分，第三版。纽约：切尔西，1965年。克努特，D.E.博士。“关于符号的两个注释。”阿默尔。数学。每月 99,403-422, 1992.科努特，D.E。这个计算机编程艺术，第1卷：基本算法，第3版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1997年。Konhauser，J.D。E.公司。；维尔曼，D。；和Wagon，S。哪个自行车开得怎么样？以及其他有趣的数学奥秘。华盛顿，DC：数学。美国协会。，第174页，1996年。Riordan，J。组合身份。纽约：威利出版社，1979年。Riordan，J。安组合分析导论。纽约：威利出版社，1980年。里斯金，A.“问题10231。”阿默尔。数学。每月 102, 175-176, 1995.罗马人，美国。这个脑微积分。纽约：学术出版社，第59-63页，1984年。斯隆，新泽西州。A。序列A000629号和A008277号在“在线整数百科全书”中序列。"斯坦利，R.P。枚举组合数学，第1卷。英国剑桥：剑桥大学出版社，1997J·斯特林。微分法、小束运动法et插值序列无穷大。伦敦，1730年。英语翻译霍利迪，J。这个微分法：无限级数求和与插值的论述。1749.杨，P.T。“伯努利、欧拉和斯特林的同余数字。"J.编号Th。 78, 204-227, 1999.

引用关于Wolfram | Alpha

斯特林数第二类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“第二类斯特林数”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/StirlingNumbersofSecondKind.html

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