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泊松分布

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泊松分布

给定一个泊松过程，准确获得n个在中取得的成功N个试验是由二项分布

P_P（n|n）=（n！）/（n！（n-n）！）p^n（1-p）^（n-n）。
(1)

将分布视为预期成功次数的函数

nu=Np
（2）

而不是样本大小 N个用于固定第页，方程式(2)然后变成

P_（nu/N）（N|N）=（N！）/（N！（N-N）！）（nu/N）^N（1-nu/N）（N-N），
(3)

让样本大小 N个变大，分布就会接近

P_nu（n）=lim_（N->infty）P_P（N|N）
（4）
=lim_（N->infty）（N（N-1）。。。（N-N+1））/（N！）（nu^N）/（N^N）（1-nu/N）^N（1-nu/N）^（-N）
(5)
=lim_（N->infty）（N（N-1）。。。（N-N+1））/（N^N）（nu^N）/（N！）（1-nu/N）^N（1-nu/N）^（-N）
(6)
=1·（nu^n）/（n！）·e^（-nu）·1
(7)
=（nu^ne^（-nu））/（n！），
(8)

即泊松分布（Papoulis 1984，第101和554页；Pfeiffer和Schum 1973，第200页）。请注意样品大小 N个已完全退出具有相同功能的概率函数所有值的形式努.

泊松分布在沃尔夫拉姆语言作为泊松分布[亩].

正如预期的那样，泊松分布被规范化，因此概率之和等于1，因为

sum_（n=0）^inftyP_nu（n）=e^（-nu）sum_（n=0）^infty（nu^n）/（n！）=e^（-nu）e^nu=1。
(9)

概率比由下式给出

（P_nu（n=i+1））/（P（n=i））=（（nu^（i+1）e^（-nu））//（（e^（-nu）nu^i）/（i！））=nu/（i+1）。
(10)

泊松分布在以下情况下达到最大值

（dP_nu（n））/（dn）=（e^（-nu）n（γ-H_n+lnnu））/，
(11)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数和H_ n是一个谐波数，导致超越方程式

gamma-H_n+lnnu=0，
(12)

无法准确解决n个.

这个动量生成函数的泊松分布由下式给出

百万吨=e（-nu）e（nue）=e（nu（e ^t-1））
(13)
M^'（吨）=nue^te^（nu（e^t-1））
(14)
M^（“”）（t）=（nue^t）^2e^（nu（e^t-1））+nue^te^
(15)
R（吨）=nu（e ^t-1）
(16)
R^'（吨）=努埃特
(17)
R^（“”）（t）=编号，
(18)

所以

亩=R^'（0）=nu
(19)
西格玛^2=R^（“”）（0）=nu
(20)

（Papoulis 1984，第554页）。

这个原始时刻也可以通过求和直接计算，这将产生与潜水钟多项式的 phin（x）和第二斯特林数友善的,

phi_n（x）=sum_（k=0）^infty（e^（-x）x^k）/（k！）k^n=sum=（k=1）^nx^kS（n，k）
(21)

称为多宾斯基公式因此，

mu_2^'=nu（1+nu）
(22)
mu_3^’=nu（1+3nu+nu^2）
(23)
μ4^'=nu（1+7nu+6nu^2+nu^3）。
(24)

这个中心力矩然后可以计算为

二氧化锰=努
(25)
mu_3=努
(26)
四氧化二锰=nu（1+3nu），
(27)

所以意思是,方差,偏斜度,和峰态超越是

亩=努
(28)
西格玛^2=努
(29)
γ_1=（mu_3）/（σ^3）=nu/（nu^（3/2））=nu^
(30)
γ_2=（mu4）/（sigma^4）-3=（nu（1+3nu））/（nu^2）-3
（31）
=（nu+3nu^2-3nu^2）/（nu^2）=nu^（-1）。
(32)

这个特征函数对于泊松分布是

φ（t）=e^（nu（e ^（it）-1））
(33)

（Papoulis 1984，第154和554页），以及累积生成功能是

K（h）=nu（e^h-1）=nu（h+1/（2！）h^2+1/（3！）h*3+…），
(34)

所以

kappa_r=数值。
(35)

这个平均偏差泊松分布由提供

MD=（2e^（-nu）nu^（|nu_|+1））/（|_nu_|！）。
（36）

泊松分布也可以表示为

λ＝nu/x，
(37)

变化率，以便

P_nu（n）=（（lambdax）^ne^（-lambdax））/（n！）。
(38)

这个动量生成函数的两个变量的泊松分布如下所示

M（t）=e^（（nu_1+nu_2）（e^t-1））。
(39)

如果自变量x_1型,x2个, ...,x否具有带参数的泊松分布mu_1,二氧化锰, ...,mu_N（_N），然后

X=总和_（j=1）^Nx_j
(40)

具有带参数的泊松分布

mu=总和_（j=1）^Nmu_j。
(41)

这可以从累积生成功能是

K_j（h）=mu_j（e^h-1）
(42)
K=sum_（j）K_j（h）=（e^h-1）sum_（j）mu_j=mu（e^h-1）。
(43)

Saslaw（1989）使用泊松分布的推广来模拟宇宙中观测到的星系团。该分布的形式如下所示

f_b（N）=（N^_（1-b））/（N！）[N^_，
(44)

哪里N个是一个体积中星系的数量V（V）,N^_=N^_V,n个^_是星系的平均密度，以及b=-W/（2K）约0.70+/-0.05，使用0<=b<1是重力能与动能之比特殊运动的能量b=0给予

f_0（N）=（e^（-N^_）N^_^N）/（N！），
(45)

这实际上是一个泊松分布nu=N^_类似地b=1给予f_1（N）=0.

另请参阅

二项分布,Erlang分布,泊松过程,泊松定理 在数学世界课堂上探索这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第532页，1987Grimmet，G.和Stirzaker，D。概率和随机过程，第2版。英国牛津：牛津大学出版社，1992年。帕普利斯，A.“泊松过程和散粒噪声”第16章概率，随机变量和随机过程，第二版。纽约：McGraw-Hill，第554-576页，1984年。Pfeiffer，体育。和Schum，D.A。引言应用概率。纽约：学术出版社，1973年。按下，宽高比。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“不完全伽马函数，误差函数，奇方概率函数，累积泊松函数。“§6.2数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第209-2141992页。西卡罗来纳州萨斯劳。“星系聚类的统计分布函数的一些性质。”天体物理学。J。 341, 588-598, 1989.明镜，M.R。理论概率统计问题。纽约：McGraw-Hill，第111-112页，1992

参考Wolfram | Alpha

泊松分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“泊松分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PoissonDistribution.html

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