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傅里叶变换

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傅里叶变换是复杂的 傅里叶级数在限额内L->输入.更换分立元件自动（_n）用连续的F（k）德卡同时允许不适用->k。然后将总和更改为完整的,方程变成

f（x）=整数_（-infty）^整数F（k）e^（2piikx）dk
(1)
F（k）=int_（-infty）^inftyf（x）e^（-2piikx）dx。
(2)

在这里，

F（k）=F_x[F（x）]（k）
(3)
=int_（-infty）^inftyf（x）e^（-2piikx）dx
(4)

被称为向前地(-我)傅里叶变换，以及

f（x）=F_k^（-1）[F（k）]（x）
(5)
=int_（-infty）^inftyF（k）e^（2piikx）dk
(6)

被称为反向(+我)傅里叶变换。符号F_x[F（x）]（k）在Trott（2004，p.xxxiv）中介绍，以及f^^（k）和f^_（x）有时也用于表示傅里叶变换和傅里叶逆变换，（《将军》1999年，第202页）。

注意，一些作者（特别是物理学家）更喜欢用角频率来表示变换Ω=2皮努而不是振荡频率努然而，这会破坏对称性，导致变换一对

H（Ω）=F[小时（吨）]
(7)
=int_（-infty）^inftyh（t）e^（-iomegat）dt
（8）
小时（吨）=F^（-1）[H（Ω）]
(9)
=1/（2pi）int_（-infty）^inftyH（omega）e^（iomegat）domega。
(10)

为了恢复变换的对称性

克（年）=F[F（t）]
(11)
=1/（sqrt（2pi））int_（-inty）^inftyf（t）e^（-iyt）dt
(12)
f（t）=F^（-1）[g（y）]
(13)
=1/（平方英尺（2pi））int_（-infty）^inftyg（y）e^（iyt）dy
(14)

有时会用到（Mathews和Walker，1970年，第102页）。

通常，傅里叶变换对可以使用两个任意常数来定义一和b条作为

F（Ω）=sqrt（（|b|）/（（2pi）^（1-a）））int_（-infty）^inftyf（t）e^（ibomegat）dt
(15)
f（t）=sqrt（（|b|）/（（2pi）^（1+a）））int_（-infty）^inftyF（ω）e^（-ibomegat）domega。
(16)

傅里叶变换F（k）函数的f（x）实现了沃尔夫拉姆语言作为傅里叶变换[如果,x,k个]，以及不同的选择一和b条可以通过传递可选Fourier参数->{一,b条}选项。默认情况下Wolfram语言拿Fourier参数作为(0,1)不幸的是，许多其他公约也在广泛传播使用。例如，(0,1)用于现代物理，(1,-1)用于纯数学和系统工程，(1,1)在概率论中用于计算特征功能,(-1,1)用于经典物理，并且（0，-2pi）用于信号处理。在这项工作中Bracewell（1999年，第6-7页），人们总是假设a=0和b=-2pi除非另有说明。这种选择通常会导致在对常用函数（如1）进行大大简化的变换时，cos（2pik_0x）等。

由于任何函数都可以拆分为即使和古怪的部分E（x）和O（x）,

f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f
(17)
=E（x）+O（x），
(18)

傅里叶变换总是可以用傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换作为

F_x[F（x）]（k）=整数_（-infty）^inftyE（x）cos（2pikx）dx-iint_（-inty）^inffyO（x）sin（2pik x）dx。
(19)

A函数f（x）具有正向和反向傅里叶变换

f（x）={int_（-infty）^inftye^（2piikx）[int_（-infty）_inftyf（x，
(20)

前提是

1int_（-infty）^infty|f（x）|dx存在。

2.存在有限数量的不连续性。

3.函数有界变化。A类足够的较弱的条件是满足利普席茨条件

（拉米雷斯1985年，第29页）。函数越平滑（即连续衍生产品)，其傅里叶越紧凑转换。

傅里叶变换是线性的，因为如果f（x）和克（x）具有傅里叶变换F（k）和G（k），然后

整数[af（x）+bg（x）]e^（-2piikx）dx=aint（-infty）^inftyf（x）e^（-2piikx）dx+bint（-inpty）^ inftyg（x）e（-2piakx）dx
(21)
=aF（k）+bG（k）。
(22)

因此，

F[af（x）+bg（x）]=aF[f（x）]+bF[g（x）]
(23)
=aF（k）+bG（k）。
(24)

傅里叶变换也是对称的，因为F（k）=F_x[F（x）]（k）暗示F（-k）=F_x[F（-x）]（k）。

让f*克表示卷积，然后是卷积变换函数有特别好的转换，

F[F*g]=F[F]F[g]
(25)
F（法语）=F[F]*F[g]
(26)
F^（-1）[F（F）F（g）]=f*克
(27)
F^（-1）[F（F）*F（g）]=前景。
(28)

第一个公式推导如下：

F[F*g]=int_（-infty）^inftyint_（-inpty）^ inftye^（-2piikx）f（x^'）g（x-x^’）dx^'dx
(29)
=int（-infty）
(30)
=[int_（-infty）^inftye^（-2piikx^’）f（x^'）dx^'][int_
(31)
=F[F]F[g]，
(32)

哪里x^（''）=x-x^'。

在自相关和傅里叶变换被称为维纳-辛钦定理。让F_x[F（x）]（k）=F（k）,和（f）^_表示复共轭属于如果，然后是绝对的广场属于F（k）由提供

F_k[|F（k）|^2]（x）=int_（-infty）^inftyf^_（tau）F（tau+x）dtau。
(33)

傅里叶变换导数 f^'（x）函数的f（x）只与函数的变换有关f（x）自身。考虑

F_x[F^'（x）]（k）=int_（-infty）^inftyf^（x）e^（-2piikx）dx。
(34)

现在使用按部件集成

intvdu=[uv]-intudv
(35)

具有

杜=f^'（x）dx
(36)
v（v）=e ^（-2piikx）
(37)

和

u个=f（x）
(38)
数字电视=-2piike^（-2piikx）dx，
(39)

然后

F_x[F^'（x）]（k）=[F（x）e^（-2piikx）]_。
(40)

第一项由振荡函数时间组成f（x）但是如果函数是有界的，那么

lim_（x->+/-infty）f（x）=0
(41)

（任何物理上有意义的信号都必须如此），然后该术语消失，留下

F_x[F^'（x）]（k）=2piikint_（-infty）^inftyf（x）e^（-2piikx）dx
(42)
=2piikF_x[f（x）]（k）中的一个。
(43)

可以为n个第个导数屈服

F_x[F^（（n））（x）]（k）=（2piik）^nF_x[（x）][k）。
(44)

重要的是调制定理傅里叶变换的F_x[cos（2pik_0x）F（x）]（k）表示为F_x[F（x）]（k）=F（k）如下：，

F_x[cos（2pik_0x）F（x）]（k）=int_（-infty）^输入f（x）cos（2pik_0x）e^（-2piikx）dx
(45)
=1/2int_（-infty）^inftyf（x）e^（2piik_0x）e*（-2piikx）dx+1/2int_（-infty）_inftyf（x）e（-2piak_0x）e ^（-2piiikx）d x
(46)
=1/2int_（-infty）^输入f（x）e^（-2pii（k-k_0）x）dx+1/2int_（-infty）
(47)
=1/2[F（k-k_0）+F（k+k_0”）]。
(48)

自从导数给出了傅里叶变换的通过

F^'（k）=d/（dk）F_x[F（x）]（k）=int_（-infty）^ infty（-2piix）F（x）e^（-2piikx）dx，
(49)

由此可见

F^'（0）=-2piiint_（-infty）^inftyxf（x）dx。
(50)

迭代给出了一般公式

多个（_n）=int_（-infty）^inftyx^nf（x）dx
(51)
=（F^（（n））（0））/（（-2pii）^n）。
(52)

这个方差傅里叶变换的

σ_f^2=<（xf-<xf>）^2>，
(53)

的确

西格玛（f+g）=西格玛f+西格玛g。
(54)

如果f（x）具有傅里叶变换F_x[F（x）]（k）=F（k），则傅里叶变换有偏移财产

int_（-infty）^inftyf（x-x0）e^（-2piikx）dx=int（-infty）^输入f（x-x0）e（-2pii（x-x_0）k）e（-2-pii（kx0））d（x-x.0）
(55)
=e ^（-2piikx_0）F（k），
(56)

所以f（x-x_0）具有傅里叶变换

F_x[F（x-x_0）]（k）=e^（-2piikx_0”）F（k）。
(57)

如果f（x）具有傅里叶变换F_x[F（x）]（k）=F（k），则傅立叶变换服从相似性定理。

int_（-infty）^inftyf（ax）e^（-2piikx）dx=1/（|a|）int_（-infty），
(58)

所以f（轴）具有傅里叶变换

F_x[F（ax）]（k）=|a|^（-1）F（k/a）。
(59)

傅里叶变换的“等效宽度”为

我们（_e）=（整数_（-infty）^整数f（x）dx）/（f（0））
(60)
=（F（0））/（int_（-infty）^inftyF（k）dk）。
(61)

“自相关宽度”为

w_a型=（整数_（-infty）^inftyf*f^_dx）/（[f*f^_]_0）
（62）
=（int_（-infty）^inftyfdxint_（-inty）^infcyf^_dx）/（int_，
(63)

哪里f*克表示互相关属于如果和克和（f）^_是复共轭。

上的任何操作f（x）留下它的地区不变的叶子F（0）不变，自

int_（-infty）^inftyf（x）dx=F_x[F（x）]（0）=F（0）。
(64)

下表总结了一些常见的傅立叶变换对。

功能f（x）F（k）=F_x[F（x）]（k）
傅里叶变换-11δ（k）
傅里叶变换——余弦cos（2pik_0x）1/2[增量（k-k0）+增量（k+k0）]
傅里叶变换--增量功能增量（x-x0）e ^（-2piikx_0）
傅里叶transform-指数函数e^（-2pik_0|x|）1/pi（k_0）/（k^2+k_0^2）
傅里叶变换——高斯e^（-ax^2）平方英尺（π/a）e^（-pi^2k^2/a）
傅里叶变换——Heaviside步长功能高（x）1/2[δ（k）-i/（pik）]
傅里叶变换——反函数-PV1/（像素）i[1-2H（-k）]
傅里叶变换——洛伦兹函数1/pi（1/2伽马）/（（x-x_0）^2+（1/2伽玛）^2）e^（-2piikx_0-Gammapi|k|）
傅里叶变换—斜坡功能R（x）piidelta^'（2pik）-1/（4pi^2k^2）
傅里叶变换--正弦罪（2pik_0x）1/2i[增量（k+k0）-增量（k-k0）]

在二维中，傅里叶变换变成

F（x，y）=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^infcyf（k_x，k_y）e^（-2pii（k_xx+k_yy））dk_xdk_y
(65)
f（kx，ky）=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^infcyF（x，y）e^（2pii（k_xx+k_yy））dxdy。
(66)

类似地n个-维度的傅里叶变换可以定义为k个,x（单位：R^n）通过

F（x）=int_（-infty）^infty。。。int_（-infty）^infty_（）_（n）f（k）e^（-2piik·x）d^nk
(67)
f（k）=int_（-infty）^infty。。。int_（-infty）^infty_（）_（n）F（x）e^（2piik·x）d^nx。
(68)

另请参见

自相关,卷积,离散傅里叶变换,快速傅里叶变换,傅里叶级数,福里尔·斯蒂尔特杰斯转换,傅里叶变换-1,傅里叶变换-余弦,傅里叶变换-增量功能,傅里叶变换——指数功能,傅里叶变换——高斯,傅立叶变换——HeavisideStep函数,傅里叶变换——逆功能,傅里叶变换——洛伦兹功能,傅里叶变换—斜坡功能,傅里叶变换——矩形功能,分数傅里叶变换,汉克尔变换,哈特利转换,积分变换,拉普拉斯转换,帕西瓦尔定理,结构因子,Wiener-Khinchin定理,Winograd变换 在数学世界课堂上探索这个主题

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傅里叶变换

引用如下：

埃里克·W·韦斯坦。“傅里叶变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html

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