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卷积

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卷积是表示一个函数重叠量的积分克当它在另一个函数上移动时如果因此，它“混合”了一个功能。例如，在合成成像中，测量的脏图是“真实”CLEAN映射与脏束（傅里叶转型抽样分布）。卷积有时也是已知的按其德语名称，法尔通（“折叠”）。

卷积在Wolfram语言作为卷积[如果,克,x个,年]和离散卷积[如果,克,n个,米].

抽象地说，卷积定义为函数的乘积如果和克是代数中的对象Schwartz函数在里面R^n（R ^n）.两个函数的卷积如果和克在有限范围内[0，t]由提供

[f*g]（t）=int_0^tf（τ）g（t-tau）dtau，
(1)

其中符号[f*g]（t）表示卷积如果和克.

卷积通常在无限范围内进行，

f*克=int _（-infty）^ inftyf（tau）g（t-tau）dtau
(2)
=int_（-infty）^输入（tau）f（t-tau）dtau
(3)

（Bracewell 1965，第25页）和变量（在本例中t吨)暗示，偶尔也写为f张量g.

两个矩形函数的卷积两个高斯函数的卷积

上面的动画生动地说明了两个变量的卷积棚车功能（左）和两个高斯人（右）。在图中，绿色曲线显示蓝色和红色曲线的卷积，如下所示的函数t吨,垂直绿线指示的位置。灰色区域表示产品g（τ）f（t-tau）作为的函数t吨,所以它的面积是t吨正是卷积。需要强调的一个功能这些插图没有传达这一点（因为它们都只涉及对称函数）是指克必须在滞后之前进行镜像如果和集成。

二的卷积棚车功能 f=Pi_（t1，t2）（t）和g=Pi_（u_1，u_2）（t）具有特别简单的形式

f*g=[（t-t1-u_1）H（t-t1-u_1）-（t-t2-u_1-（t-t1-u_2）H（t-t1-u_2）+（t-t2-u_2）H（t-t2-u_2）]，
(4)

哪里H（x）是Heaviside阶跃函数。甚至更多令人惊讶的是，两个高斯人的卷积

如果=e^（-（t-mu_1）^2/（2sigma_1^2））/（sigma_1sqrt（2pi））
(5)
克=e^（-（t-mu_2）^2/（2sigma_2^2））/（sigma_2 sqrt（2pi））
（6）

是另一个高斯函数

f*g=1/（sqrt（2pi（sigma_1^2+sigma_2^2））e^（-[t-（mu_1+mu_2）]^2/[2（simma_1^2+sigma_2 ^2）]））。
(7)

让如果,克、和小时是任意函数，并且一a常量。卷积满足这些属性

f*克=克*f
(8)
f*（克*小时）=（f*g）*h
(9)
f*（克+小时）=（f*g）+（f*h）
(10)

（Bracewell 1965年，第27页），以及

a（f*g）=（af）*克
(11)
=f*（银）
(12)

（Bracewell 1965年，第49页）。

采取导数卷积的结果是

（f*g）^'=f^'*克
(13)
=f*g^'
(14)

（Bracewell 1965年，第119页）。

这个地区卷积下是下面积的乘积因素，

int_（-infty）^infty（f*g）dt=int_（-infty）^infty[int_（-infty）_inftyf（u）g（t-u）du]dt
(15)
=int_（-infty）^inftyf（u）[int_（-infty）_inftyg（t-u）dt]du
(16)
=[int_（-infty）^inftyf（u）du][int_。
(17)

水平函数质心卷积的添加

<t> _（f*g）=，
(18)

并且前提是如果或克有它的功能质心在它的起源差异也要这样做

<t^2>_（f*g）=<t^2>_f+<t^2>_g
(19)

（Bracewell 1965年，第142页），其中

<t^n>_f=（int_（-infty）^inftyt^nf（t）dt）/（int_。
(20)

还有一个卷积的定义，它出现在概率论中，由下式给出

F（t）*G（t）＝intF（t-x）dG（x），
（21）

哪里积分F（t-x）dG（x）是一个Stieltjes积分.

另请参见

自相关,柯西产品,卷积定理,交叉相关性,重复曲线图,维纳-钦钦定理 探索数学世界课堂上的这个主题

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Bracewell，R.《卷积》和《二维卷积》第3章这个傅里叶变换及其应用。纽约：McGraw-Hill，第25-50页和243-2441965年。I.I.Hirschman。和D.V.Widder。这个卷积变换。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1955年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第464-465页，1953出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“使用FFT进行卷积和反卷积。”§13.1英寸数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第531-537页，1992年。魏斯坦，E.W。“关于卷积的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Convolution.html.

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卷积

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“卷积。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

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