离散傅里叶变换——来自Wolfram MathWorld

连续傅里叶变换已定义作为

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现在考虑对离散函数的推广，通过出租，其中，使用, ...,。将其写出即可得到离散傅里叶变换 $F_n=F_k[{f_k}_（k=0）^（N-1）]（N）$ 作为

(3)

逆变换 $f_k=f_n^（-1）[{表格}_（n=0）^（n-1）]（k）$ 就是那个时候

（4）

离散傅里叶变换（DFT）非常有用，因为它们揭示了输入数据中的周期性以及任何周期分量的相对强度。那里然而，在离散傅里叶变换的解释中有一些微妙之处。通常真实的数字序列将是一系列复杂的长度相同的数字。特别是，如果那么是真的了和与…相关

(5)

对于,1, ...,,哪里表示复共轭。这意味着组件对于真实数据总是真实的。

由于上述关系，周期函数将在两个地方而不是一个地方包含变换峰。这是因为输入数据的周期被分成“正”和“负”频率复数分量。

这个快速傅立叶变换是一种对包含以下内容的样本执行离散傅里叶变换的特别有效的算法一定数量的点。

有两种主要类型的错误可能会影响离散傅里叶变换：混叠和泄漏.

上图显示了函数离散傅里叶变换的实部（红色）、虚部（蓝色）和复模（绿色）（左图）和（右图）两次采样50次时期。在左图中，左右两侧对称的尖峰为单频的“正”和“负”频率分量正弦波。同样，在右图中，有两对尖峰与低频强分量相对应的较大绿色尖峰与高频弱分量相对应的较小绿色尖峰。按适当比例绘制的复数模量离散傅里叶变换的权力光谱.