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哈特利变换

哈特利变换是一种积分变换它与傅里叶变换,但在最常见的约定中，它将完整的内核通过

cas（2pinut）=cos（2pinout）+sin（2binut）
(1)

而不是e^（-2pift）,给出变换对

H（f）=int_（-infty）^inftyV（t）cas（2pift）dt
(2)
V（吨）=int_（-infty）^inftyH（f）cas（2pift）df
(3)

（Bracewell 1986年，第10页，Bracewell1999年，第179页）。

哈特利变换产生真实的的输出真实的输入，是它自己的逆函数。因此，它可以与离散的傅里叶变换，尽管解析表达式通常更复杂哈特利变换。

在离散情况下，内核乘以

cos（（2pikn）/N）+sin（（2pikn）/N）
(4)

而不是

e^（-2piikn/N）=cos（（（2pikn）/N）-isin（（2pikn）/N）。
（5）

哈特利变换的离散版本--使用替代约定加号替换为负正弦可以显式编写为

高[a]=1/（sqrt（N））sum_（N=0）^（N-1）a_N[cos（（2pikn）/N）-sin（（2pikn）-N）]
(6)
=RF[a]-IF[a]，
(7)

哪里F类表示傅里叶变换.哈特利变换遵守卷积财产

H[a*b]_k=1/2（a_kB_k-a^__kB^__k+a_kB ^_k+a ^_kB_ k），
(8)

哪里

a ^__0=a_0（零）
(9)
a ^__（n/2）=a_（无）
(10)
^__k个=a（n-k）。
(11)

就像快速傅里叶变换，哈特利变换有一个“快速”版本。一种时间抽取算法利用

H_n^（左）[a]=H_（n/2）[a^（偶数）]+XH_（n/2）[a ^（奇数）]
(12)
H_n^（右）[a]=H_（n/2）[a^（偶数）]-XH_（n/2）[a ^（奇数）]，
(13)

哪里X（X）表示包含元素的序列

a_ncos（（引脚）/N）-a^__nsin（（引脚，/N）。
(14)

频率抽取算法利用

H_n^（偶数）[a]=H_（n/2）[a^（左）+a^[右）]
(15)
H_n^（奇数）[a]=H_（n/2）[X（a^（左）-a^（右））]。
(16)

这个离散傅里叶变换

A_k=F[A]=sum_（n=0）^（n-1）e^（-2piikn/n）A_n
(17)

可以写入

[A_k；A_（-k）]=sum_（n=0）^（n-1）[e^（-2piikn/n）0；0e^（2piikn/n）]_（）_（F）[a_n；a_n]
(18)
=sum_（n=0）^（n-1）1/2[1-i 1+i；1+i 1-i]（）_（T^（-1））[cos（（2pikn）/n）sin（（2pikn）/n）；-sin（（2pikn）/n）cos（（2pikn）/n）]_（）_（H）1/2[1+i 1-i；1-i 1+i]（）_（T）[a_n；a_n]，
(19)

所以

F=T^（-1）高度。
(20)

另请参见

离散傅里叶变换,快速傅里叶变换,傅里叶转换

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Hartley变换（HT），《FFT算法评论》第2章http://www.jjj.de/fxt网站/.Bracewell、，R.编号。这个傅里叶变换及其应用，第三版。纽约：McGraw-Hill，1999年。Bracewell、，R.编号。这个哈特利变换。纽约：牛津大学出版社，1986年。

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哈特利变换

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“哈特利变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HartleyTransform.html

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