话题

特征函数


给定一个子集 A类特征函数智利_A,有时也称为指示符函数,是上定义为相同的函数A类,在其他地方为零。特征函数有时用所谓的艾弗森支架、和可以是有用的描述性手段,因为它更容易说,例如,“素数的特征函数”,而不是重复给定的定义。特征函数是简单的功能.

术语特征函数在概率中以不同的方式使用,其中表示φ(t)并定义为傅里叶变换概率密度函数 使用傅里叶变换参数 (a,b)=(1,1)

φ(t)=F_x[P(x)](t)
(1)
=int_(-infty)^inftye(itx)P(x)dx
(2)
=int_(-infty)^inftyP(x)dx+itint_(-inpty)^ inftyxP(x。。。
(3)
=sum_(k=0)^(infty)((it)^k)/(k!)mu_k^'
(4)
=1+itmu_1^'-1/2t^2mu_2^'-1/(3!)it^3mu_3^'+1/(4!)t^4mu_4^'+。。。,
(5)

哪里mu_n^’(有时也表示数字(_n))是n个第个瞬间大约0和mu_0^'=1(阿布拉莫维茨和斯特根1972年,第928页;莫里森1995年)。

A类统计分布不是由其唯一指定的力矩但根据其特点函数,如果它的所有矩都是有限的,并且其特征函数的级数在原点附近绝对会聚(Papoulis 1991,p.116)。在这种情况下,这个概率密度函数由提供

 P(x)=F_t^(-1)[φ(t)](x)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(-itx)φ(t
(6)

(Papoulis 1991年,第116页)。

因此,特征函数可用于生成未经加工的力矩

 phi^((n))(0)=[(d^nphi)/(dt^n)]_(t=0)=i^nmu_n^'
(7)

累积量 卡帕n

 lnphi(t)=sum_(n=0)^inftykappa_n((it)^n)/(n!)。
(8)

另请参见

累积量艾弗森支架力矩产生力矩功能概率密度函数设置简单函数

本条目的部分内容由托德罗兰

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参考文献

Abramowitz,M.和Stegun,I.A.(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,第9281972页。Kenney,J.F.和Keeping,E.S。“力矩生成和特征函数”,“矩生成函数”和“特征唯一性定理功能。“§4.6-4.8英寸数学《统计学》第2部分第2版。新泽西州普林斯顿:Van Nostrand,第72-77页,1951莫里森,K.E.“余弦积,傅里叶变换,和随机和。"阿米尔。数学。每月 102, 716-724, 1995.帕普利斯,A.“特征功能”。第5-5节概率,随机变量和随机过程,第三版。纽约:McGraw-Hill,1991

参考Wolfram | Alpha

特征函数

引用如下:

托德·罗兰埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“特征函数。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CharacteristicFunction.html

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