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特征函数

给定一个子集 A类特征函数智利_A，有时也称为指示符函数，是上定义为相同的函数A类，在其他地方为零。特征函数有时用所谓的艾弗森支架、和可以是有用的描述性手段，因为它更容易说，例如，“素数的特征函数”，而不是重复给定的定义。特征函数是简单的功能.

术语特征函数在概率中以不同的方式使用，其中表示φ（t）并定义为傅里叶变换的概率密度函数 使用傅里叶变换参数 （a，b）=（1,1）,

φ（t）=F_x[P（x）]（t）
(1)
=int_（-infty）^inftye（itx）P（x）dx
(2)
=int_（-infty）^inftyP（x）dx+itint_（-inpty）^ inftyxP（x）dx+1/2（it）^2int_（-finfty）^inffyx^2P（x）dx+。..
(3)
=sum_（k=0）^（infty）（（it）^k）/（k！）mu_k^'
(4)
=1+itmu_1^'-1/2t^2mu_2^'-1/（3！）it^3mu_3^'+1/（4！）t^4mu_4^'+。..,
(5)

哪里mu_n^’（有时也表示数字（_n）)是n个第个瞬间大约0和mu_0^'=1（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第928页；莫里森1995).

A类统计分布不是由其唯一指定的力矩但根据其特点函数，如果它的所有矩都是有限的，并且其特征函数的级数在原点附近绝对会聚（Papoulis 1991，第116页）。在这种情况下，这个概率密度函数是由提供

P（x）=F_t^（-1）[φ（t）]（x）=1/（2pi）int_（-infty）^inftye^（-itx）φ（t
(6)

（Papoulis 1991年，第116页）。

因此，特征函数可用于生成未经加工的力矩,

φ^（（n））（0）=[（d^nphi）/（dt^n）]（t=0）=i^nmu_n^'
(7)

或累积量 卡帕n,

lnphi（t）=sum_（n=0）^inftykappa_n（（it）^n）/（n！）。
(8)

另请参见

累积量,艾弗森支架,力矩,力矩生成功能,概率密度函数,设置,简单函数

本条目的部分内容由托德罗兰

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工具书类

Abramowitz，M.和Stegun，I.A。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第9281972页。J.F.肯尼。和Keeping，E.S。“力矩生成和特征函数”，“矩生成函数”和“特征唯一性定理功能。“§4.6-4.8英寸数学《统计学》第2部分第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，第72-77页，1951莫里森，K.E。“余弦积，傅里叶变换，和随机和。"阿默尔。数学。每月 102, 716-724, 1995.帕普利斯，A.“特征功能”。第5-5节概率，随机变量和随机过程，第三版。纽约：McGraw-Hill，1991

参考Wolfram | Alpha

特征函数

引用如下：

托德·罗兰和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“特征函数。”来自数学世界--A类Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/CharacteristicFunction.html

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