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帕西瓦尔定理

如果函数具有傅里叶级数由提供

f（x）=1/2a_0+sum_（n=1）^inftya_ncos（nx）+sum_，
(1)

然后贝塞尔不等式成为平等被称为帕西瓦尔定理。发件人(1),

[f（x）]^2=1/4a_0^2+a_0sum_（n=1）^infty[a_ncos（nx）+b_nsin（nx。
(2)

正在集成

int_（-pi）^pi[f（x）]^2dx=1/4a_0^2int_（nx）sin（mx）]dx=1/4a_0^2（2pi）+0+sum_（n=1）^inftysum_（m=1），
(3)

所以

1/piint_（-pi）^pi[f（x）]^2dx=1/2a_0^2+sum_（n=1）^infty（a_n^2+b_n^2）。
(4)

对于广义傅里叶级数的完全正交系统 {phi_i}_（i=1）^infty，一个类似的关系成立。

对于复杂的 傅里叶系列,

1/（2pi）int_（-pi）^pi|f（x）|^2dx=sum_（n=-infty）^infty|a_n|^2。
(5)

另请参见

贝塞尔不等式,完全正交系,傅里叶级数,广义傅里叶级数,普朗彻定理,功率谱

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Gradshteyn，美国。和I.M.Ryzhik。积分、级数和乘积表，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，第1101页，2000年。W.卡普兰。高级微积分，第4版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第501页，1992年。

引用的关于Wolfram | Alpha

帕西瓦尔定理

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“帕塞瓦尔定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ParsevalsTheorem.html

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