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阶乘和

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因数总和函数定义为

sf^p（n）=总和_（k=1）^nk^第页。
(1)

对于p=1，

sf^1（n）=sum_（k=1）^（n）k！
(2)
=（-e+Ei（1）+pii+e_（n+2）（-1）Gamma（n=2））/e
(3)
=（-e+Ei（1）+R[e_（n+2）（-1）]Gamma（n=2））/e，
(4)

哪里Ei（z）是指数积分，Ei（1）约1.89512（OEIS）A091725号),E_n（_n）是E类n个-功能，R（z）是真实的部分属于z（z），和我是想像的数。前几个值是1、3、9、33、153、873、5913、46233、409113、，…（OEIS）A007489号).sf^1（n）不能写成超几何项加常数（佩特科夫舍克等。1996). 这种形式的唯一素数是sf_1（2）=3，自

sf^1（n）=（1！+2！+3！+…+n！）
(5)
=（1+2+3sum_（k=3）^（n）（k！）/3）
(6)
=3（1+sum_（k=3）^（n）（k！）/3）
(7)

总是3的倍数n> 2个.

事实上，sf^p（n）可被3整除n> 1个和p=3，5, 7, ... （自坎宁安数鉴于前两项之和1!^n+2^n=2^n+1总是可以被3整除--所有的因子都是后续条款中的权力n> =3)因此不包含素数，这意味着序列具有偶数对是唯一的主要竞争者。

总额

sf^2（n）=总和_（k=1）^n（k！）^2
(8)

似乎没有简单的闭合形式，但它的值n=1, 2, ... 是1、5、41、617、15017、533417、25935017。。。（OEIS）104344美元). 它是指数2的素数，3, 4, 5, 7, 8, 10, 18, 21, 42, 51, 91, 133, 177, 182, 310, 3175, 9566, 32841, ...（OEIS）A100289号). 自平方英尺（n）可被1248829整除n> =1248828，这样的素数只能是有限的。（然而，最大的这样的素数是未知的，考虑到平方英尺（1248829）拥有1400多万十进制数字。）

sf^4（n）可被13整除n> =12唯一的素数n<12是平方英尺^4（2）=17.

案例sf^6（n）稍微有趣一点，但是sf^6（n）可被1091整除n> =1090并检查以下条款主要条款为n=5，34和102（OEISA289947型).

中唯一的素数sf^8（n）是用于n=2自从sf^8（n）可被13整除n> =12.

类似地平方英尺（10）（n）是用于n=3个4、5、16和25（OEISA290014标准).自从平方英尺（10）（n）可被41整除n> =40.

最小（质数）数的序列（_k）这样的话平方英尺（2k）（n）可除以（_k）对于n> =a_k-1是为k=1, 2, ... 1248829、13、1091、13、41、37、463、13、23、13、，1667, 37, 23, 13, 41, 13, 139, ... （OEIS）A290250型).

有时表示索引从0而不是1运行的相关总和我！n个（不要与次级因子)被称为左阶乘，

我！n=总和_（k=0）^nk！。
(9)

具有交替项的相关和称为交替阶乘的，

a（n）=总和（k=1）^n（-1）^（n-k）k！。
(10)

总额

sum_（k=1）^nkk=（n+1）-1
(11)

具有简单的形式，前几个值为1、5、23、119、719、5039。。。（OEIS）A033312号).

阶乘和满足的恒等式包括

sum_（k=0）^（infty）1/（k！）=e=2.718281828。。。
(12)
sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（k！）=e^（-1）=0.3678794411。。。
(13)
sum_（k=0）^（infty）1/（（k！）^2）=I_0（2）=2.279585302。。。
(14)
sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（k！）^2）=J_0（2）=0.2238907791。。。
(15)
sum_（k=0）^（infty）1/（（2k）！）=cosh1=1.543080634。。。
(16)
sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（2k）！）=cos1=0.5403023058。。。
(17)
sum_（k=0）^（infty）1/（（2k+1）！）=sinh1=1.175201193。。。
(18)
sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（2k+1）！）=sin1=0.8414709848。。。
（19）

（OEIS）A001113号，A068985号，A070910型，A091681号，A073743号，A049470号，A073742号、和A049469号;Spanier和Oldham 1987），其中I_0（x）是一个被改进的第一类贝塞尔函数，J_0（x）是一个贝塞尔第一类函数，coshx公司是双曲余弦，科斯是余弦，辛赫克斯是双曲线的正弦、和正弦是正弦.

阶乘和权力包括

sum_（n=0）^（infty）（（n！）^2）/（（2n）！）=2/（27）（18+平方（3）pi）
（20）
=1.73639985...
(21)
sum_（n=0）^（infty）（（n！）^3）/（（3n）！）=_3F_2（1,1,1；1/3,2/3；1/（27））
(22)
=1.17840325...
(23)

（OEIS）A091682号和A091683号)一般来说，

sum_（n=0）^infty（（n！）^k）/（（kn）！）=_kF_（k-1）（1，…，1_（）_（k）；1/k、2/k，。。。，（k-1）/k；1/（k^k））。
(24)

Schroeppel和Gosper（1972）给出了积分表示

sum_（n=0）^infty（（n！）^3）/（（3n）！）=int_0^1[P（t）+Q（t）cos^（-1）R（t）]dt，
(25)

哪里

P（吨）=（2（8+7t^2-7t^3））/（（4-t^2+t^2）^2）
(26)
Q（吨）=（4t（1-t）（5+t^2-t^3））/（（4-t^2+t^3
(27)
R（吨）=1-1/2（t^2-t^3）。
(28)

只有四个整数等于数字的阶乘。这些数字被称为因子.

虽然没有阶乘大于1！是一个平方数D.Hoey列出的金额<10^(12)给出的不同阶乘广场数字，而J.McCranie给了这一笔额外的金额21!=5.1×10^（19）:

0!+1!+2!=2^2
(29)
1!+2!+三！=3^2
(30)
1!+4!=5^2
(31)
1!+5!=11^2
(32)
4!+5!=12^2
(33)
1!+2!+3!+6!=27^2
(34)
1+5!+6!=29^2
(35)
1!+7!=71^2
(36)
4!+5!+7!=72^2
（37）
1!+2!+3!+7!+8!=213^2
(38)
1+4!+5+6!+7!+8!=215^2
(39)
1!+2!+3!+6!+9!=603^2
(40)
1!+4!+8!+9!=635^2
(41)
1!+2!+3!+6!+7!+8+10!=1917^2
(42)

和

1!+2!+3!+7!+8!+9!+10!+11!+12!+13!+14!+15!=1183893^2
(43)

（OEIS）A014597美元).

中索引的幂和分子和的产品阶乘在中分母通常可以从以下方面进行分析正规化的超几何函数 _pF ^~_q例如

sum_（k=0）^N1/（（k+m）！（k+n）！）=_1F^~2（1；m+1，n+1；1）-_1F^~2（1；m+N+2；N+N/2；1）sum_（k=0）^N1/（（m+k）！（n-k）！）=（2F^~1（1，-n；m+1；-1））/（γ（n+1））-（2F^~1（1，-n+n+1；m+n+2；-1））/（伽马（n-n））。
(44)

另请参见

交替阶乘，二项式和，阶乘，工厂产品，整数序列素数，左阶乘，次级阶乘

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

盖伊，R.K。“阶乘的等积”、“交替阶乘和”和“涉及阶乘的方程”n个“§B23、B43和D25英寸未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag出版社，第80页，以及193-1941994年。佩特科夫舍克，M。；Wilf，H.S。；和Zeilberger，D。A=B。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，1996年。http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.施罗佩尔，R.和Gosper，R.W。Beeler，M.第116项。；Gosper，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院人工智能实验室，备忘录AIM-239，第54页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item116.斯隆，N.J。答：。序列A001113号/M1727，A007489号/M2818，A014597美元，A033312号，A049469美元，A049470号，A068985号，A070910型，A073742号，A073743号，A091681号，A091682号，A091683号，A091725号，A100289号，A104344号、和A290250型在“整数序列在线百科全书”中扳手，J.和Oldham，K.B。“阶乘函数n！及其相互作用。“通道2英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第19-331987页。

引用的关于Wolfram | Alpha

阶乘和

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“因数和。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html

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