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一个证明使用证据（示例、反例、穷尽案例）或逻辑（构造、直接证明、矛盾、归纳）来最终证明先前推测的数学陈述的有效性（然后称为定理,引理或必然结果）有了证明，定理就不同于公理（或假设）和猜想。

证明的结构

最基本的是，证明要求尽可能明确地证明陈述，从陈述中得出明显的结果，从明显的结果中构建一系列逻辑论证，直到陈述成为明显细节的逻辑结果。

本文中的大多数示例都来自数论。

定理。任何五个连续整数的和都可以被5整除。 证明。给定一组五个连续整数，有一个最小整数和一个最大整数。让我们调用最小的整数${\显示样式\脚本样式n\，}$。其他整数为${\显示样式\脚本样式n+1，}$,${\显示样式\脚本样式n+2\，}$,${\显示样式\脚本样式n+3\，}$和${\显示样式\脚本样式n+4\，}$，其总和为${\显示样式\脚本样式n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+$.重新分配我们获得$｛\displaystyle\scriptstyle 5n+1+2+3+4\，=\，5n+10\，｝$。由于10是5的倍数，我们可以更进一步：${\显示样式\脚本样式5（n+2）\，}$。如果${\显示样式\脚本样式n+2\，}$可以被5整除或不整除，因为五个连续整数的和等于这个量乘以5，很明显，根据定理的规定，它可以被5除尽。□

使用验证标记结束(□) 分布广泛。

费马猜想的威尔斯证明（通常称为费马最后定理，因为费马声称有一个从未找到的证明）就是一个明显的例子，一个简短和/或简单的语句可能需要一个很长和/或复杂的证明，可能跨越几十页的数百个逻辑步骤。在这种情况下，读者（以及作者）可以将证据分解成更小的、通常自己并不感兴趣的初步陈述（称为引理)每个都有自己的证据。然后，使用这些初步的陈述，最终的证据变得更容易管理。

考虑一个简单的例子。

定理。以下各项的总和${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数可以被整除${\显示样式\脚本样式m\，}$当且仅当${\显示样式\脚本样式m\，}$很奇怪。 引理1。两个连续整数是互质。给定一个整数$｛\displaystyle\scriptstyle a\，\in\，\mathbb｛Z｝\，｝$和另一个整数${\显示样式\脚本样式b\，=\，a\，\pm\，1\，}$，平等${\显示样式\脚本样式\gcd（a，b）\，=\，1\，}$持有。 我们认为1不是一个公理质数，主要是为了方便。否则，前面的引理和下面的证明将不必要地令人费解，使用诸如“除了1”之类的措辞 证明。因为$｛\displaystyle\scriptstyle a\，｝$和${\显示样式\脚本样式b\，}$是连续的，这意味着${\显示样式\脚本样式|a-b|\，=\，1\，}$。假设${\显示样式\脚本样式a\，}$和${\显示样式\脚本样式b\，}$共享一个基本因子${\显示样式\脚本样式p\，\in\，\mathbb{p}\，\in \，\mathbb{Z}^{+}\，}$因此${\显示样式\脚本样式|a-b|\，=\，kp\，}$，使用${\显示样式\脚本样式k\，>\，0\，}$.即使${\显示样式\脚本样式k\，=\，1\，}$，这仍然意味着${\显示样式\脚本样式kp\，>\，1\，}$，矛盾${\显示样式\脚本样式|a-b|\，=\，1\，}$，由于${\显示样式\脚本样式a\，}$和${\显示样式\脚本样式b\，}$是连续的。因此，${\显示样式\脚本样式a\，}$和${\显示样式\脚本样式b\，}$共享编号主要因素。 引理2。两个连续整数的和是奇数，不能被2整除。 证明。给定两个连续的整数，一个是奇数，另一个是偶数。让我们称之为偶数${\显示样式\脚本样式n\，}$另一个是${\显示样式\脚本样式n+1，}$或${\显示样式\脚本样式n-1\，}$，并且它们的总和是${\显示样式\脚本样式2n+1，}$或${\显示样式\脚本样式2n-1\，}$.显然${\显示样式\脚本样式2n\，}$是偶数，它至少有两次将2作为一个基本因子。无论是哪一种${\显示样式\脚本样式2n+1，}$或${\显示样式\脚本样式2n-1\，}$,${\显示样式\脚本样式2n\，}$生成一对连续的整数。根据引理1，它们是互质，它们不可能都有2作为共同的主因子。因此，两者${\显示样式\脚本样式2n+1，}$和${\显示样式\脚本样式2n-1\，}$是奇数，因为它们表示两个连续整数的和，这意味着这样的和是奇数。 引理3。以下各项的总和${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数可以被整除${\显示样式\脚本样式m\，}$什么时候${\显示样式\脚本样式m\，}$很奇怪。 证明。给定一组$｛\displaystyle\scriptstyle m\，｝$连续整数，有最小整数和最大整数。让我们调用最小的整数${\显示样式\脚本样式n\，}$。其他整数为${\显示样式\脚本样式n+1，\，\ldot，\，n+（m-1）\，}$，其总和为${\显示样式\脚本样式n+（n+1）+\ldots+（n+（m-1））\，}$.重新分配我们获得$｛\displaystyle\scriptstyle mn+1+\ldots+（m-1）\，｝$.忘记${\显示样式\脚本样式mn\，}$现在，注意我们的加数包括1和${\显示样式\脚本样式m-1\，}$，以及${\显示样式\脚本样式1+（m-1）\，=\，m\，}$.自${\显示样式\脚本样式m\，}$很奇怪，${\显示样式\脚本样式m-1\，}$是偶数（这来自引理1），因此我们可以从中配对加数${\显示样式\脚本样式1+（m-1）\，}$到${\displaystyle\scriptstyle（{\frac{m-1}{2}}）+（{\frac{m-1'{2}+1）\，}$以获得${\显示样式\脚本样式（{\frac{m-1}{2}}）m\，}$.记住${\显示样式\脚本样式mn\，}$，我们的总和是这样的${\显示样式\脚本样式mn+（{\frac{m-1}{2}}）m\，}$，我们可以进一步重写为${\显示样式\脚本样式m（n+{\frac{m-1}{2}}）\，}$。如果${\显示样式\脚本样式n+{\frac{m-1}{2}}\，}$可除以${\显示样式\脚本样式m\，}$或者不是，因为$｛\displaystyle\scriptstyle m\，｝$连续整数等于该数量乘以${\显示样式\脚本样式m\，}$显然这可以被${\显示样式\脚本样式m\，}$如定理所规定。 引理4。以下各项的总和${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数不能被整除${\显示样式\脚本样式m\，}$什么时候${\显示样式\脚本样式m\，}$是一个单偶数。 请参见A016825号用于定义单偶数。 证明。自${\显示样式\脚本样式m\，}$是单平的，这意味着${\displaystyle\scriptstyle{\frac{m}{2}}\，}$很奇怪。因此，我们可以划分${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数到${\displaystyle\scriptstyle{\frac{m}{2}}\，}$成对的连续整数。根据引理2，每对之和为奇数。因此，我们的中间加数是奇数，所以总和也是奇数。 现在我们准备证明定理，即${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数可被${\显示样式\脚本样式m\，}$当且仅当${\显示样式\脚本样式m\，}$很奇怪。 证明。奇数的情况${\显示样式\脚本样式m\，}$已经被引理3证明了。引理3足以证明定理，除非定理中说的是“当且仅当”，而不是引理中的“当”。这意味着我们不仅要证明当${\显示样式\脚本样式m\，}$很奇怪，我们还必须证明它确实如此不在以下情况下发生${\显示样式\脚本样式m\，}$是均匀的。然而，引理3确实照亮了道路。如果${\显示样式\脚本样式m\，}$是双偶数，或者可以被2的更大幂整除，我们仍然可以重写${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数作为${\显示样式\脚本样式mn+1+\ldots+（m-1）\，}$。但是当我们匹配后面的加数时$｛\displaystyle\scriptstyle mn\，｝$获取更多的实例${\显示样式\脚本样式m\，}$，我们发现这是因为${\显示样式\脚本样式m\，}$是偶数，${\显示样式\脚本样式m-1\，}$很奇怪，因此当我们到达$｛\displaystyle\scriptstyle（｛\frac｛m｝｛2｝｝-1）+（｛\frac｛m｝｛2｝｝+1）\，=\，m\，｝$，我们遗漏了一个加数，即${\displaystyle\scriptstyle{\frac{m}{2}}\，}$.自${\显示样式\脚本样式m\，}$至少加倍均匀，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{m}{2}}\，}$也必须是偶数。但是${\displaystyle\scriptstyle m（n+{\frac{m}{2}}-1）+{\frac{m{2}{}}\，}$不能被整除${\显示样式\脚本样式m\，}$，尽管它可以被${\displaystyle\scriptstyle{\frac{m}{2}}\，}$。这意味着如果${\displaystyle\scriptstyle m=2^{\alpha}k\，}$具有${\显示样式\脚本样式\阿尔法\，>\，1\，}$和${\显示样式\脚本样式k\，}$一些奇数正数，然后是${\显示样式\脚本样式m\，}$连续整数可被${\显示样式\脚本样式2^{\阿尔法-1}\，}$但不是${\显示样式\脚本样式2^{\alpha}\，}$因此不是${\显示样式\脚本样式m\，}$.单偶数由引理4处理，刚才我们讨论了其他偶数，从而完成了定理的证明。□

上述证据可以缩写，但这不是演示的目的。

证明的种类

蕴涵证明

声明${\显示样式\脚本样式A\，}$暗示语句${\显示样式\脚本样式B\，}$。

等价性证明

声明${\显示样式\脚本样式A\，}$if和only if语句${\显示样式\脚本样式B\，}$.（声明${\显示样式\脚本样式A\，}$暗示语句${\显示样式\脚本样式B\，}$，语句${\显示样式\脚本样式B\，}$暗示语句${\显示样式\脚本样式A\，}$.)

通常分两部分完成。

存在性证明

囊性纤维变性。存在量词 ${\显示样式\脚本样式\存在\，}$。

存在${\显示样式\脚本样式x\，}$成套的${\显示样式\脚本样式S\，}$s.t.声明${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$是真的。

${\显示样式\在S，A（x）\，}中存在x\$

存在${\显示样式\脚本样式x\，}$成套${\显示样式\脚本样式S\，}$s.t.声明${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$为false。

${\显示样式\在S中存在x\，\neg A（x）\，}$

唯一性证明

囊性纤维变性。唯一量词 ${\displaystyle\scriptstyle\存在！\，}$。

存在且只有一个${\显示样式\脚本样式x\，}$成套${\显示样式\脚本样式S\，}$s.t.声明${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$是真的。

${\显示样式\存在！x\在S，A（x）\，}中$

存在且只有一个${\显示样式\脚本样式x\，}$成套${\显示样式\脚本样式S\，}$s.t.声明${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$为false。

${\显示样式\存在！x\在S中，\neg A（x）\，}$

通用证明

囊性纤维变性。全称量词 $｛\displaystyle\scriptstyle\forall\，｝$。

对于所有人${\显示样式\脚本样式x\，}$成套的${\显示样式\脚本样式S\，}$，语句${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$是真的。

${所有x的显示样式\在S，A（x）\，}中$

不存在证明

对于所有人${\显示样式\脚本样式x\，}$成套${\显示样式\脚本样式S\，}$，语句$｛\displaystyle\scriptstyle A（x）\，｝$为false。

${\显示样式\用于S中的所有x\，\neg A（x）\，}$

证明方法

证明某些事物有很多不同的方法，但这些方法可以归结为一些常见的方法。

举例证明

实例证明可用于存在猜想。

举例证明是最简单、最直接、最令人信服的证明方法。它也是最有限的：不仅必须有一个例子，而且必须让作者可以使用。此外，该示例可能提示的问题多于答案。

例如，证明存在数字${\显示样式\脚本样式n}$使得${\显示样式\脚本样式\西格玛{1}（n）\，=\，2n\，}$，我们要做的就是举一个例子完全数如28。这并不能回答这样的问题：我们如何找到其他完美数字？有无平方的完美数字？6可能是唯一的一个。有吗奇完美数?

反例反驳

反对者反例可以用来反驳一个普遍的猜测。

例如，有人断言“${\显示样式p}$素数，${\显示样式2^{p} -1个}{p} -1个}$总是一个质数。“给出一个反例就足够了，比如2047或8388607（这些对应于${\显示样式p=11}$和23，参见A065341号更多反例）。

用尽全力证明

只有当要调查的案件数量有限（并且足够小）时，才能使用穷举证明。它可以用于普遍猜想（所有情况都是真的，或者在不存在猜想的情况下，所有情况都为假。）

施工证明

在构造性证明中，读者被要求在特定参数内构造特定对象，但也允许选择一些参数。读者应该被证据说服，因为作者无法现实地预见读者将如何选择“自由”参数。

通过构造证明在几何学例如，为了证明只用直尺和指南针就可以画出一个正方形，我们可以要求读者画一个他们想要的任意大小的正方形。然后我们提供如何使用直尺和指南针构造指定圆的说明。

定理。只有用直尺和罗盘才能画出正方形。

证明。步骤1。画一个任意大小的正方形。	第2步。从东北角到西南角画一条对角线，从东南角到西北角再画一条斜线。	步骤3。在对角线相交的地方，将指南针居中。罗盘的另一端可以走在广场的任何一个角落。□

扣除证明

演绎证明也称为直接证明。演绎证明使用公认公理和/或定理的逻辑链，其结论就是我们要证明的定理。

定理。所有的正倍数丰富的数字也很丰富。给定一个正数$｛\displaystyle n｝$，这意味着${\显示样式m}$无论是什么正整数，数字${\显示样式mn}$也很丰富。 例如，12是丰富的。根据这个定理，它的倍数也是：24、36、48、60、72、84等等（参见A008594号). 证明。让我们标记的除数$｛\displaystyle n｝$因此：${\显示样式1，d_{2}，\ldots d_{\西格玛{0}（n）-1}，n}$.分配${\显示样式s=\西格玛{1}（n）-n=\和{i=1}^{\西格马{0}（n）-1}d_{i}}$.自$｛\displaystyle n｝$据说是丰富的，这意味着${\显示样式s>n}$.我们不知道是什么${\显示样式m}$的除数是，与其有共同点的除数更少$｛\displaystyle n｝$。但我们仍然可以推断出${\显示样式mn}$的除数：$显示样式m，md{2}，ldots md{0}（n）-1}，mn}$.忽略$｛\displaystyle mn｝$这些列出的除数之和必须等于${\显示样式ms}$自从给我们的每个加数${\显示样式s}$现在已乘以${\显示样式m}$。回想一下${\显示样式s>n}$将不平等的两边乘以${\显示样式m}$，我们得到${\显示样式ms>mn}$，意思是${\显示样式mn}$如定理所述内容丰富。□

这个例子证明了并非总是需要考虑所有的事情。假设${\显示样式m\neq n}$，我们本可以同时包括这两个${\显示样式m}$和$｛\displaystyle n｝$作为的不同除数${\显示样式mn}$.如果${\显示样式\gcd（m，n）=1}$，我们本可以推导出更多的除数。无论如何，该证明实际上忽略了1作为${\显示样式mn}$一旦证明${\显示样式ms>mn}$，没有必要进一步了解${\显示样式\西格玛{0}（mn）}$（当然，如果证据是一张更大的纸或一本书的一部分，那么最终有必要深入研究不同价值观对${\显示样式\gcd（m，n）}$).

矛盾证明

矛盾证明始于假设待证明的陈述实际上是错误的。结果是从陈述的错误中得出的，然后是一系列逻辑论证，直到出现矛盾为止。由于陈述的虚假产生了矛盾，这证明了陈述事实上必须是正确的（排中律.)

例如，为了证明不存在最大素数（存在无限多个素数），假设实际上存在最大素数。使用这个假设，可以找到一个大于最大素数的素数，这与最初假设存在最大素数相矛盾。

或者，为了证明某个数字${\显示样式\脚本样式x\，}$是不合理的，我们可以假设它实际上是有理数并且存在整数${\显示样式\脚本样式a\，}$和${\显示样式\脚本样式b\，}$使得${\displaystyle\scriptstyle{\frac{a}{b}}\，=\，x\，}$。然后，我们对执行某些操作${\displaystyle\scriptstyle{\frac{a}{b}}\，}$直到产生矛盾。此方法可以在某些情况下使用代数数但可能会被证明是难以捉摸的超越数。

一些在世的数学家甚至对某个已故数学家的证明是矛盾证明的想法感到愤怒，并研究证明的原文以证明它不是矛盾证明。

其他人会通过矛盾来构造错误的证明来证明他们的观点。一个有效的矛盾证明只有一个有缺陷的假设：即被证明的陈述是虚假的最初假设。故意人为错误的矛盾证明通常有两个有缺陷的假设：最初的假设和一个隐含的假设，即给定事物只有两种可能状态，而实际上存在更多的可能状态。

归纳法证明

证明无限有序集合中每个元素的事实的另一种方法是首先证明第一个元素的事实，然后证明如果对一个元素是真的，那么对集合中的下一个元素也是真的。因为这对集合中的第一个元素来说是真的，所以对第二个元素来说也是真的，而且因为这对第二种元素来说是真实的，所以对于第三种元素来说也是真实的，以此类推。

在数论，这通常意味着为${\显示样式\脚本样式n\，=\，1\，}$然后如果这是真的${\显示样式\脚本样式n\，}$这也适用于${\显示样式\脚本样式n+1，}$。因此，所有正整数的语句的真理如下。

示例将在第二天添加

条件证明

条件证明是一种可能的证明，它取决于尚未证明的猜想，但这被强烈认为是真的，因此被视为假设。

最著名的未经证实的猜想黎曼假说，在解析数论的许多条件证明中都是假定的。证明黎曼假设将根据其真理层叠所有条件证明，使其成为所有证明。但反驳了黎曼假说会将这些条件证明转换为琐碎的语句。

错误/错误的证据

在过程的任何一步，一个有缺陷的假设都可能使证据偏离正轨。费马猜想的威尔斯证明的初稿大约在中间有一个缺陷，他花了一年时间解决了这个问题。

著名的开放性问题得到了许多声称的证明，而数学界大多忽略了这些证明，大多数时候都有充分的理由。将圆圈平方，证明奇数完全数等的不存在，这些都是几个世纪以来的证明。斯科特·阿隆森（Scott Aaronson）发现了十个证据，声称证据是错误的：

1. 作者没有使用TeX。
2. 作者不理解这个问题。
3. 这种方法似乎产生了更强有力的结果，而且可能是错误的。
4. 这种方法与作者应该意识到的不可能结果相冲突。
5. 作者在结尾处使用了黄鼠狼的话。
6. 这篇论文在没有提出新观点的情况下跳进了技术层面。
7. 这篇论文没有建立在或参考任何以前的工作。
8. 这篇论文在解释性材料上花了大量篇幅。
9. 论文声称，这将产生实际后果和深刻的哲学含义。
10. 对于手头的问题来说，这项技术似乎太弱了。

在TeX（或计算机）出现之前的日子里，第一个迹象可能是作者没有使用标准的数学符号，可能是为那些已经众所周知的、一致的符号发明了新的符号。这并不是说这些都会阻止那些想成为圆形方块的人。

但有时错误的证据是为了娱乐和启迪，或为了表明观点而故意构建的。这里有一个有趣的推论证明2=1：

“定理。”整数1和2相等。 “证明。”比方说${\显示样式\脚本样式a\，=\，b\，}$。这意味着${\显示样式\脚本样式a^{2}\，=\，ab\，}$,${\显示样式\脚本样式a^{2}+a^{2]\，=\，a^{2$,${\显示样式\脚本样式2a^{2}\，=\，a^{2]+ab\，}$,${\显示样式\脚本样式2a^{2} -2ab\，=\，a^{2}+ab-2ab\，}{2} -2ab\，=\，a^{2}+ab-2ab\，}$,${\显示样式\脚本样式2a^{2} -2ab型\，=\，a^{2} -ab型\,}{2} -2ab型\，=\，a^{2} -ab型\,}$。我们改写为${\displaystyle\scriptstyle 2（a^{2} -ab型)\，=\，a^{2} -ab\,}{2} -ab型)\，=\，a^{2} -ab\,}$最后，我们将双方划分为${\displaystyle\scriptstyle脚本样式^{2} -ab型\,}{2} -ab型\,}$，获得${\显示样式\脚本样式2\，=\，1\，}$如“定理”所规定□

你能指出这个证据出错的地方吗？