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数量丰富

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这个丰富的数字是正整数 n个为此除数之和属于n个超过
2n个
.
第一个偶数富足是
12 = 2 2⋅ 3
，使用
σ （12）=
2 3− 1
2 − 1
  ⋅ (3 + 1) = 7 ⋅ 4 = 28 > 24 = 2 ⋅ 12
.
第一个奇数丰富数（232第丰富的数字）是
945 = 3 3⋅ 5 ⋅ 7 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 = 9!!
（双阶乘第页，共9页）
σ (945) =
3 4− 1
3−1
  ⋅ (5 + 1) ⋅ (7 + 1) = 40 ⋅ 6 ⋅ 8 = 1920 > 1890 = 2 ⋅ 945
.

这个丰度属于n个是

哪里
σ (n个)
是除数之和属于
n个
.[1]等效定义为
丰度数字是丰度大于2的数字，而完全数丰度等于2的数字亏数丰度小于2的数字。当一个正整数的丰度n个是正整数
k个 n个，k个≥ 1,
我们有一个k个-完全数，1是唯一的1-完全数。

A017665号除数倒数和的分子n个.

1, 3, 4, 7, 6, 2, 8, 15, 13, 9, 12, 7, 14, 12, 8, 31, 18, 13, 20, 21, 32, 18, 24, 5, 31, 21, 40, 2, 30, 12, 32, 63, 16, 27, 48, 91, 38, 30, 56, 9, 42, 16, 44, 21, 26, 36, 48, 31, ...

A017666号除数倒数和的分母n个.

1、2、3、4、5、1、7、8、9、5、11、3、13、7、5、16、17、6、19、10、21、11、23、2、25、13、27、1、29、5、31、32、11、17、35、36、37、19、39、4、41、7、43、11、15、23、47、12、49、50、。。。

属性

富足数的任何正倍数也是富足数。此外，一个完美数的任何正倍数（大于1）都是一个丰富的数。

定理AbT1。

富足数的所有正倍数也是富足的：给定一个正富足数n个和任何正整数米，数字
米 n个
也很丰富。

证明。这足以证明
n个 第页
丰富的地方
n个
资源丰富
第页
是质数，因为
米
是零个或多个素数的乘积，可以通过归纳法应用。如果
n个
和
第页
那么是互质的
σ−1(n个 第页) =σ−1(n个) ⋅σ−1( 第页)>2·σ−1( 第页) > 2
通过的多重性
σ−1
否则，让
n个=k个 第页 e（电子）
哪里
k个
和
第页
是互质的，请注意
σ−1(n个 第页) =σ−1(k个 第页 e（电子） +1) =σ−1(k个) ⋅σ−1( 第页 e（电子） +1) >σ−1(k个) ⋅σ−1( 第页 e（电子）) =σ−1(k个 第页 e（电子）) =σ−1(n个) = 2
自从
σ−1( 第页 e（电子）)
严格来说是在增加
e（电子）
. □
例如，
12
是丰富的，因此根据定理，其正倍数也是丰富的：
{12、24、36、48、60、72、84、96、108、120、132、144、156、168、180、192、204、216、228…}
(A008594号).
推论AbC1。

所有正倍数
米，米> 1
第，页，共页完美数资源丰富。

证明。以上证明就足够了，注意到
σ−1( 第页) > 1
和
σ−1( 第页 e（电子） +1) >σ−1( 第页 e（电子）)
. □
推论AbC2。

丰富的数字有正下方密度.

证明。6是一个完美的数字，所以根据推论AbC1，较低的密度至少是
1/6
. □

丰富的数字密度为

  • 至少
    1
    6
      = 0.166666666...
    （因为6是完美的）；
  • 至少
    4
    21
      = 0.190476190...
    （因为6和28是完美的）；
  • 至少
    23
    105
      = 0.219047619...
    （因为6和28是完美的，20是原始丰富的）。
德莱格利什[2]给出了更好的边界：它们的较低密度至少是
0.2474
它们的密度上限是
0.2480
.所有大于46的偶数都可以用至少一种方式表示为两个丰富数的和。例如，
90 = 70 + 20
.
定理AbT2。

所有大于46的偶数都是至少以一种方式表示的两个丰富数之和。

证明。回想一下，一个富足数的所有倍数也是富足数完全数保存完美数本身是丰富的（根据上述定理AbT1及其推论）。现在考虑一个偶数
n个> 46
，但模数
12
因此，我们只需考虑六个案例。请注意
12
是一个丰富的数字。如果
n个≡0（模12）
，这意味着
n个
是的倍数
12
可以表示为
12
至少在两个方面（因为
n个> 46
例如。，
48 = 36 + 12 = 24 + 24
). 请注意
20
是一个丰富的数字。如果
n个≡2（模12）
，我们可以做到
n个= 6米+ 20
带有奇整数
米> 1
（从而确保
6米
数量充足）。如果
n个≡4（模12）
，我们可以做到
n个= 12米+ 40
.如果
n个选择6（模12）
，我们可以做到
n个= 6米+ 12
.如果
n个≡8（模12）
，我们可以做到
n个= 12米+ 20.
我们故意离开了
n个≡10（模12）
最后，因为
46≡10（mod 12）
.对于这种情况，我们可以
n个= 6米+ 40
，其中两个加数都是丰富的
米> 1
。这列出了所有六种情况，证明了定理。 □
定理AbT3。

所有大于20161的整数都可以用至少一种方式表示为两个丰富数字的总和。



证明。跟随Parkin&Lander[3]，写入

哪里e（电子）是偶数，2<o个<90是奇数。88e（电子）由推论AbC1丰富，可以检查315o个也很丰富（如检查一下就足够了o个=3、7和89）。这种形式可以表示所有奇数n个>28122和偶数由定理AbT2处理，因此检查20162和28122之间的奇数是否可以表示为此类和就足够了。 □

A048242号不是两个丰富数字之和的数字（不一定是不同的）。(
一 (38) = 46
是最大的偶数项；
一 (1456) = 20161
是最大的术语。）
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, ..., 20161

本原丰富数

A091191号本原富足数：富足数(A005101号)没有富足真除数（富足数的所有真除数都是亏数或完全数）。（联盟A071395级和A275082型.)

12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 678, 748, 762, 786, 812, 822, ...

A071395号本原富足数（富足数的所有真除数都是亏数）。

20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288, ...

A275082型具有完全真除数的本原富足数（没有富足真除数）。（都是偶数，因为没有已知的奇完美数…）

12, 18, 30, 42, 56, 66, 78, 102, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 282, 308, 318, 354, 364, 366, 402, 426, 438, 474, 476, 498, 532, 534, 582, 606, 618, 642, 644, 654, 678, 762, 786, 812, 822, 834, 868, 894, 906, 942, 978, 992, 1002, 1036, 1038, 1074, 1086, 1146, ...

A006038号奇数本原富足数（奇数富足数的所有真因子都是奇数亏数，因为没有已知的奇数完美数……）。[4]

945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825, 7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, 9555, 9765, 11655, 12705, 12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945, 22365, 22995, 23205, 24885, 25935, 26145, 26565, 28035, 28215, ...

非本原富足数

A091192年数量丰富(A005101号)至少有一个丰富的真除数。

24, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 80, 84, 90, 96, 100, 108, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, 260, 264, 270, 276, 280, 288, 294, 300, 306, 312, 320, 324, 330, 336, 340, ...

A？？？？？？具有至少一个奇富足真除数的奇富足数。

2835, 4725, 6615, 7875, 8505, 10395, 11025, 12285, 14175, ...
显然只包含在A005231号，A174535号，A174865号和A248694型.

其他子集

A173490型 甚至数量丰富（偶数
n个
其除数之和超过
2n个
):[5]
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, …

A？？？？？？即使是没有完美真除数的丰富数。

20, 40, 70, 80, 88, 100, 104, 140, 160, 176, 200, …
囊性纤维变性。A064409号，A093891号，A177085型，A192819号，A204829型，A280149型对于潜在的超集。
A005231号 奇数富足（奇数
n个
其除数之和超过
2n个
):[5]
945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, …

A004490美元：数量庞大：[6]

2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, …
A002093号高度丰富的数字：
σ (n个) >σ (米), ∀米<n个
.
1、2、3、4、6、8、10、12、16、18、20、24、30、36、42、48、60、72、84、90、96、108、120、144、168、180…
A004394美元超丰富的数字：n个这样的话
σ (n个)
n个
  >
σ (米)
米
 , ∀米<n个
.
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, …

另请参见

工具书类

  1. ↑ 埃里克·W·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“富足”.数学世界.wolfram.com网站. 
  2. ↑ 德莱格利什先生，富足整数密度的界，实验。数学。 7：2（1998年），第137-143页。
  3. ↑ 托马斯·帕金（Thomas R.Parkin）和利昂·兰德（Leon J.Lander），《丰盛的数字》（Abundant Numbers），航空航天公司，洛杉矶，1964年。119页，引自托马斯·帕金（Thomas R.Parkin）和莱昂·兰德（Leon J.Lander）的《丰富数字评论》，计算数学 19：90（1965年4月），第334页。
  4. ↑ 埃里克·W·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“原始丰度数”.数学世界wolfram.com. 
  5. ↑5 5.1 史蒂文·芬奇。“丰富的数字”.数学世界wolfram.com. 
  6. ↑ 大卫·特尔。“数量巨大”.数学世界.wolfram.com网站. 
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