搜索: a274530-编号:a274530
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A269526型
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| 反对角线向上读取的平方数组T(n,k)(n>=1,k>=1),其中每个项都是满足无行、列、对角线或反对角线上包含重复项的条件的最小正整数。 |
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+10 51
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1, 2, 3, 3, 4, 2, 4, 1, 5, 6, 5, 2, 6, 1, 4, 6, 7, 3, 2, 8, 5, 7, 8, 1, 5, 9, 3, 10, 8, 5, 9, 4, 1, 7, 6, 11, 9, 6, 4, 7, 2, 8, 5, 12, 13, 10, 11, 7, 3, 5, 6, 9, 4, 14, 8, 11, 12, 8, 9, 6, 10, 3, 7, 15, 16, 14, 12, 9, 13, 10, 11, 14, 4, 15, 16, 17, 7, 18, 13, 10, 14, 11, 3, 4, 8, 16, 9, 6, 12, 15, 7
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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无限数独型数组。
在定义中,“对角线”是指斜率为-1的对角线,“反对角线”是指斜率为+1的对角线。
定理C(鲍勃·塞尔科(2016年7月1日):每一列都是自然数的排列。
证明:修正k,假设j是该列中缺失的最小数字。为了实现这一点,该列中足够大的n的每个条目T(n,k)必须在穿过该单元格的NW对角线或该单元格W的行中看到j。但在第k列左侧的列中最多有j的k-1个副本,如果n非常大,条目T(n,k)将不受这些j的影响,因此T(n、k)将被设置为j,这是一个矛盾。量化宽松政策
证明:修正n,假设j是该行中缺失的最小数字。为了实现这一点,该行中足够大的k的每个条目T(n,k)必须在n的列中看到j,或者在穿过该单元格的NW对角线中,或者在通过该单元格的SW对角线上看到j。
第1行到第n-1行最多包含j的n-1个副本,它们对第n行中的条目的影响仅延伸到条目T(n,k_0)。我们认为k比k_0大得多,并考虑条目T(n,k)。我们将证明,对于足够大的k,它可以(因此必须)等于j,这是一个矛盾。
考虑以第n行第1列为边界的三角形,以及通过单元格(n,k)的SW对角线。用一个皇后替换这个三角形中j的每个副本,并将这些单元格想象成一个三角形棋盘。根据序列的定义和A274616号最多可以有2k/3+1个这样的皇后。然而,第n行中存在必须攻击的k-k_0细胞,对于较大的k,这是不可能的,因为k-k_0>2*k/3+1。如果一个细胞(n,k)没有受到女王的攻击,那么T(n,k)可以取值j。QED
假设每条对角线也是自然数的排列,但证明似乎并不那么简单。当然,反对偶不是自然数的排列,因为它们的长度是有限的-N.J.A.斯隆2016年7月2日
设b'(n)是第n行中出现1的位置,即T(n,b'(n))=1。则b'(n)为A065189号,逆“贪婪皇后”排列。(结束)
如果我们构造一个三角形,从左到右读取每一行,总是选择最小的正数,在任何一行或对角线上都不会产生重复的数字,那么就会产生相同的序列-N.J.A.斯隆2016年7月2日
这些数字通常是第一次出现在前几行或其附近-奥马尔·波尔2016年7月3日
FORMULA部分的最后一条评论似乎是错误的:似乎第4、5、6、7、8、9列。。。(?)都有第一个差异,分别从第8、17、52、91、92、131……项变为16个周期。。。而不是从第k项开始的周期4^(k-1)-M.F.哈斯勒2022年9月26日
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链接
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配方奶粉
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定理1:T(n,1)=n。
归纳法证明。根据定义,T(1,1)=1。计算T(n,1)时,唯一的限制是它不同于第一列中的所有早期条目,即1,2,3,。。。,n-1。所以T(n,1)=n.QED
定理2(基于来自鲍勃·塞尔科(2016年6月29日):写n=4t+i,t>=0,i=1,2,3或4。如果i=1,则T(n,2)=4t+3;如果i=2,则为4t+4;如果i=3,则是4t+1;如果i=4,则是4 T+2。这意味着第二列是排列25608加元.
证明:我们检查第2列中的前4项是否为2,5,6,3。从那时起,为了计算入口T(n,2),我们只需要看n、NW、W和SW(我们永远不需要看东方)。在找到列中的前4t条目后,该列包含从1到4t的所有数字。四个最小的自由数是4t+1、4t+2、4t+3、4t+4。条目T(4t+1,2)不能是4t+1或4t+2,但可以(因此必须)是4t+3。类似地,T(4t+2,2)=4t+4,T(4 T+3,2)=4t+1,且T(4t+4,2)=4t+2。该列现在包含从1到4t+4的所有数字。重复这个论点建立了这个定理。量化宽松政策
根据定理2,第2列(即术语a((j^2+j+4)/2),j>=1)是一个置换。在a(3)=3之后,连续项的差异遵循a(n)=3[+1,-3,+1,+5]的模式,因此a(5)=4,a(8)=1,a(12)=2,b(17)=7,a(23)=8,a(30)=5。。。
类似地,第3列(即术语a((j^2+j+6)/2)似乎是一个置换,但在a(6)=2和a(9)=5之后的模式是5[+1,-3,-2,+8,-5,+3,+1,+5,+1、-3,+1,-2,+0,-3,-3,+5]。(请参见A274614号和2015年2月746日)
我猜想,对于任何列k(即项a(j^2+j+2k)/2),j>=k-1),其他类似的周期性差异模式都应该成立,因此每个列都是一个置换。
此外,第1列中的差异是1个周期([+1]),第2列中的区别是第一项后的4个周期,第3列中的差别是第二项后的16个周期。也许从j=k-1开始,循环长度为4^(k-1)。(结束)警告:这些评论可能是错误的-请参阅评论部分-N.J.A.斯隆2022年9月26日
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例子
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阵列是按照以下方式沿其反对偶构造的:
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a(1)a(3)a(6)a(10)
a(2)a(5)a(9)
a(4)a(8)
a(7)
.
请参阅Peter Kagey的链接以获取动画示例。
方阵的开头是:
1, 3, 2, 6, 4, 5, 10, 11, 13, 8, 14, 18, 7, 20, 19, 9, 12, ...
2, 4, 5, 1, 8, 3, 6, 12, 14, 16, 7, 15, 17, 9, 22, 21, 11, ...
3, 1, 6, 2, 9, 7, 5, 4, 15, 17, 12, 19, 18, 21, 8, 10, 23, ...
4, 2, 3, 5, 1, 8, 9, 7, 16, 6, 18, 17, 11, 10, 23, 22, 14, ...
5, 7, 1, 4, 2, 6, 3, 15, 9, 10, 13, 8, 20, 14, 12, 11, 17, ...
6, 8, 9, 7, 5, 10, 4, 16, 2, 1, 3, 11, 22, 15, 24, 13, 27, ...
7, 5, 4, 3, 6, 14, 8, 9, 11, 18, 2, 21, 1, 16, 10, 12, 20, ...
8, 6, 7, 9, 11, 4, 13, 3, 12, 15, 1, 10, 2, 5, 26, 14, 18, ...
9, 11, 8, 10, 3, 1, 14, 6, 7, 13, 4, 12, 24, 18, 2, 5, 19, ...
10、12、13、11、16、2、17、5、20、9、8、14、4、6、1、7、3。。。
11, 9, 14, 12, 10, 15, 1, 8, 21, 7, 16, 20, 5, 3, 18, 17, 32, ...
12, 10, 11, 8, 7, 9, 2, 13, 5, 23, 25, 26, 14, 17, 16, 15, 33, ...
...
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MAPLE公司
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A: =proc(n,k)选项记忆;局部m,s;
如果n=1和k=1,则为1
其他s:={seq(A(i,k),i=1..n-1),
seq(A(n,j),j=1..k-1),
seq(A(n-t,k-t),t=1..分钟(n,k)-1),
seq(A(n+j,k-j),j=1..k-1)};
对于m,当m在s中做od时;米
fi(菲涅耳)
结束时间:
[seq(seq(A(1+d-k,k),k=1..d),d=1..15)];
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数学
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A[n_,k_]:=A[n,k]=如果[n==1&k==1,1,s={表[A[i,k],{i,1,n-1}],表[A[n,j],{j,1,k-1}];对于[m=1,True,m++,If[FreeQ[s,m],Return[m]]];
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
导入数据。列表((\\))
a269526 n=头$[1..]\\映射a269524(a274080_行n)
(PARI){M269526=地图();A269526型=T(r,c)=c>1&&!映射已定义(M269526,[r,c],&r)&&映射输出(M26952,[r、c],r=总和(k=1,#c=集(concat([[T(r+k,c+k)|k<-[1-min(r,c)..-1]],[T(r,k)|k<-[1..c-1]],[c(k,c)|k<-[1..r-1]]),[T k)+1);r}(右})\\M.F.哈斯勒2022年9月26日
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1, 3, 4, 6, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 18, 20, 20, 22, 22, 24, 26, 26, 27, 29, 30, 32, 35, 35, 38, 40, 40, 41, 43, 43, 43, 43, 47, 47, 47, 52, 53, 53, 54, 56, 58, 58, 60, 60, 60, 62, 64, 64, 67, 67, 68, 73, 74, 74, 74, 74, 77, 78, 78, 79, 80, 87, 87, 87, 87
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对于n=3,方阵的前三个反对角线A269526型是[1]、[3]、2]、[2、4、3]。列表中有前四个正整数,因此a(3)=4。
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0, 3, 6, 12, 13, 25, 36, 43, 57, 67, 100, 134, 115, 163, 153, 186, 185, 248, 277, 258, 306, 366, 370, 381, 528, 471, 607, 662, 610, 706, 778, 760, 783, 782, 950, 970, 975, 1194, 1206, 1175, 1301, 1393, 1438, 1261, 1584, 1549, 1592, 1645, 1776, 1783, 2010, 1956, 1953, 2353, 2441, 2258, 2468, 2342, 2635, 2663
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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