搜索： a212357-id:a212357
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A212359型
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| 具有n个珠子的代表性项链数量的分区数组（仅循环对称），每个珠子有n种颜色。只有颜色类型（签名）才重要。 |
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+10
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 6, 12, 24, 1, 1, 3, 4, 5, 10, 16, 20, 30, 60, 120, 1, 1, 3, 5, 6, 15, 20, 30, 30, 60, 90, 120, 180, 360, 720, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 21, 35, 54, 70, 42, 105, 140, 210, 318, 210, 420, 630, 840, 1260, 2520, 5040
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,6
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评论
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分区的顺序与Abramowitz-Stegun（A-St顺序）类似。有关参考，请参见A036036号在这里，还可以找到与C.F.Hindenburg 1779年作品的链接，其中使用了此顺序。
带有n个珠子的项链（n-项链）在这里只有循环C_n对称群。这与Harary-Palmer参考文献（第44页）相反，其中n项链具有对称群D_n，即阶数为n的二面体群（2n阶），除了C_n运算之外，还允许翻转（在3空间中）或反射（在2空间中）。
项链编号a（n，k）给出了n条项链的数量，每个珠子最多有n种颜色，按以下方式属于a-St顺序的n的第k个分区。用非递增部分写这个分区（这与A-St给出的分区相反），例如[3,1^2]，而不是[1^2,3]，写为[3,1,1]，一个n=5的分区。一般来说[p[1]，p[2]，。。。，p[m]]，其中p[1]>=p[2]>=…>=p[m]>=1，其中m为零件数。对于每一个这样的n划分，都对应一个通过“求幂”得到的n个多集。对于给定的示例，5-多集是{1^3,2^1,3^1}={1,1,1,2,3}。通常{1^p[1]，2^p[2]，…，m^p[m]}。这种n-多集代表（指由指数定义的重复类，有时称为特征码）通过c[1]^p[1]*c[2]^p[2]**c[m]^p[m]。在这个例子中，有c[1]^3*c[2]*c[3]。具有此颜色分配的5条项链的数量是a（5,4），因为[3,1,1]是5条项链中按a-St顺序的第四个分区。具有此颜色分配的a（5,4）=4个非等效5项链是循环的（c[1]c[1]c[1]c[2]c[3]）、循环的（c[1]c[1]c[3]c[2]）、循环（c[1]c[1]c[2]c[1]c[1]c[3]c[3]）和循环的（c[1]c[1]c[3]c[2]）。
这样一组用于指定颜色的（n，k）n-项链代表相同顺序的其他组，其中从曲目{c[1]，…，c[n]}中选择不同的颜色。在该示例中，带有代表性多集[1^3,2,3]的分区[3,1,1]表示所有5*二项式（4,2）=30个这样的集合，每个集合导致4个可能的非等效5项链排列。因此，总共有30*4=120条5色项链，其颜色特征由分区决定[3,1,1]。查看分区数组A212360型对于这些数字。
对于示例n=4，k=1..5，请参阅Stanley参考，最后一行，其中数字a（4，k）按a-St顺序为1，1，2，3，6，求和为A072605型(4).
a（n，k）由循环群的循环指数Z（C_n）计算得出（参见A212357号变量x_j被第j次幂和（c[i]^j，i=1..n）替换后，缩写为Z（c_n，c_n），c_n:=sum（c[i]，i=1..n），n>=1。如上所述，由A-St顺序中n的第k次分区确定的颜色分配代表系数为A（n，k）。参见Harary-Palmer参考，第36页，A=C_n的定理（PET）和第36页的等式（2.2.10），了解循环指数多项式Z（C_n）。有关更多详细信息，请参阅W.Lang链接。
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参考文献
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F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第36页，（2.2.10）。
R.Stanley，《枚举组合学》，第2卷，剑桥大学出版社，剑桥，1999年，第392页，7.24.3示例。
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链接
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配方奶粉
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a（n，k）是具有n个珠子的项链排列数（关于循环C_n对称性），颜色分配由从a-St阶n的k次划分唯一获得的多集代表给出。有关更多详细信息和A-St参考，请参阅注释。
设L是A-St中n的第k个分区，d是其各部分的gcd。滥用这个符号，我们为a（n，k）写一个（n，L），并相应地为其他分区数组写一个。
a（n，L）=n^（-1）*和{v|d}φ（v）*A036038型（n/v，L/v），其中L/v是L除以v的部分。
（结束）
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例子
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n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1
2 1 1
3 1 1 2
4 1 1 2 3 6
5 1 1 2 4 6 12 24
6 1 1 3 4 5 10 16 20 30 60 120
7 1 1 3 5 6 15 20 30 30 60 90 120 180 360 720
...
请参阅n=1..15行的链接以及n=1..10对应的颜色多项式。
a（4,5）=6，因为所讨论的分区是1^4，相应的颜色类型代表多项式是c[1]*c[2]*c[3]*c[4]（涉及所有四种颜色），并且有6个c_4非等价的4项链（我们在这里用j表示颜色c[j]）：1234、1243、1324、1342、1423和1432（均视为周期性）。对于这个分区，只有一种颜色选择。
a（4,4）=3，因为分区是[2,1^2]=[2,1,1]，颜色代表单项式是c[1]^2*c[2]*c[3]，排列是1123、1132和1213（都是周期性的）。在Z（C_4，C_4）中，该签名（颜色类型）共有4*二项式（3,2）=12个颜色多项式。
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A212358型
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| 交替群A_n乘以n的循环指数多项式的系数/2，n>=1，读作分区多项式。 |
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+10
1
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1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 8, 3, 0, 1, 24, 0, 0, 20, 15, 0, 1, 0, 144, 90, 40, 0, 0, 0, 40, 45, 0, 1, 720, 0, 0, 0, 504, 630, 280, 210, 0, 0, 0, 70, 105, 0, 1, 0, 5760, 3360, 2688, 1260, 0, 0, 0, 0, 0, 1344, 2520, 1120, 1680, 105, 0, 0, 0, 112, 210, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4
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评论
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分区的顺序与Abramowitz-Stegun中的相似（有关参考，请参见A036036号，在使用此顺序的地方还可以找到与C.F.Hindenburg 1779年作品的链接）。
称为Z（A_n）的交替群A_n的循环指数（多元多项式）为
Z（S_n）+Z（S_n；x[1]，-x[2]，x[3]，-x[4]，…），n>=1，
对称群S_n的循环指数Z（S_n），在变量x[1]中，。。。，x[n]。参见Harary和Palmer参考。n！的系数*Z（S_n）是Abramowitz-Stegun的M_2数，第831-2页。请参见A036039号和A102189号，也供阿布拉莫维茨-斯特根参考。
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参考文献
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F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第36页，（2.2.6）。
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链接
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配方奶粉
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交替群A_n的循环指数多项式为Z（A_n）=（2*A（n，k）*x[1]^（e[k，1]）*x[2]^（e[k，2]）**x[n]^（e[k，n]））/n！，n> =1，如果n在Abramowitz-Stegun序中的第k个分区是1^（e[k，1]）2^（e[k，2]）。。。n^（e[k，n]），其中必须省略具有消失指数e[k、j]的部分j。指数的n相关性已被抑制。有关Z（A_n）公式以及n=1..13时这些多项式的链接，请参见上述注释。
a（n，k）是对应于Abramowitz-Stegun阶n的第k次分区的（n！/2）*Z（a_n）项的系数。如果Z（a_n）中没有该项，则a（n，k）=0。
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例子
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n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
1: 1
2: 0 1
3: 2 0 1
4: 0 8 3 0 1
5: 24 0 0 20 15 0 1
6: 0 144 90 40 0 0 0 40 45 0 1
...
请参阅链接以获取行n=1..10和n=1..13的Z（A_n）多项式。
n=6:Z（A_6）=2*（144*x[1]*x[5]+90*x[2]*x[4]+40*x[3]^2+40*x[1]^3*x[3]+45*x[1]^2*x[2]^2+1*x[1]^6）/6！，因为当k=2:1,5时，出现6的相关分区；k=3:2.4；k=4:3^2；k=8:1^3,3；k=9:1^2,2^2和k=11:1^6。因此，Z（A_6）=（2/5）*x[1]*x[5]+（1/4）*x[2]*x%4]+（1/9）*x[3]^2+（1/9。
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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