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A264041型
a(n)是当对角线放置在单位正方形中时,可以放置在由1 X 1单位正方形组成的n X n网格中的对角线的最大数量,对角线不会在端点处交叉或相交。
8
1, 3, 6, 10, 16, 21, 29, 36, 46, 55, 68, 78, 93, 105, 122, 136, 156, 171, 193, 210, 234, 253, 280, 300, 329, 351, 382, 406, 440, 465, 501, 528
抵消
1,2
评论
换句话说,可以封装在n X n网格中的最大数量的不相交顶点不相交对角线/和\。
/和\不能水平或垂直相邻。
在西北至东南对角线上,两个不能相邻,在西南至东北对角线中,两个/不能相邻。
我们还将其扩展到了mXn网格,得到了一些有限的结果。
a(n)是具有顶点(x,y,z),x=1..n,y=1..n,z=1..2的图中的最大独立集的大小,其中边连接(x,y,z)到(x,y,3-z),(x+1,y,3-z)和(x,y+1,3-z),(x,y,1)到(x+1,y-1,1)和(x,y,2)到(x+1,y+1,2)。 -罗伯特·伊斯雷尔2015年11月1日
发件人罗伯·普拉特2015年11月9日:(开始)
382≤a(27)≤383。
a(29)=440。
有关最佳解决方案的数量,请参见A264667型.(结束)
猜想:的部分和A260307型. -肖恩·欧文2022年7月15日
发件人Aleksandr V.Novozhilov先生2025年4月1日:(开始)
a(27)=382。
a(31)=501。
566≤a(33)≤567。
636≤a(35)≤637。(结束)
a(35)=636,使用SCIP ILP解算器证明。 -Aleksandr V.Novozhilov先生2025年4月9日
链接
彼得·博伊兰德(Peter Boyland)、加布里埃拉·平特(Gabriella Pintér)、伊斯坦·劳科(István Laukó)、伊万·罗斯(Ivan Roth)、乔恩·斯科恩菲尔德(Jon E.Schoenfield)和斯蒂芬·瓦西列夫斯基,关于数组中非相交对角线的最大个数《整数序列杂志》,第20卷(2017年),第17.2.4条。
罗伯特·伊斯雷尔,带CPLEX的MATLAB代码
罗伯特·伊斯雷尔,n=1..26的最佳配置
Aleksandr V.Novozhilov,n=1..32的最佳配置
NRICH公司,独特的对角线
加布里埃拉·平特,n=6k-1情况下的下限2015年10月27日
朱耀辉、孙开明、罗正东、王凌峰,整数序列符号回归域自适应的渐进式自学习,程序。第39届AAAI大会。英特尔。(2025)第39卷,第1期,1692-1699。见第1698页。
配方奶粉
定理:a(2*n)=n*(2n+1)(三角形数中的偶数诱导项A000217号).更一般地,对于2k X m的情况,最优解是k*(m+1)。参见第三个Pinter链接以获得证明。
定理:a(6*n-1)>=n+3*n*(6*n-1)。参见第二个Pinter链接以获得证明。
定理:a(n)<=a(n-2)+2*n。
经验公式:x*(1+2*x+2*x^2+2*x*x^3+3*x^4+x^5+x^6)/((1-x)^3*(1+x)^2*(1-x+x^2)*(1+x+x*2))。 -罗伯特·伊斯雷尔2015年11月1日。更正人科林·巴克2018年1月31日
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)+a。 -科林·巴克2018年1月31日
例子
对于a(2)=3,最佳配置为
//
./
(最好使用固定宽度的字体。对于空白方块,最好使用“.”而不是“”,因为“”往往会消失。)
请注意,左下角的方块不能有/,因为这会与右上角的/冲突,或者因为这会与其水平和垂直相邻的方块冲突。
对于a(3)=6,最佳配置为
///
../
/./
对于a(4)=10,可以通过明确绘制网格线来描述最佳配置,如下所示
+-+-+-+-+
|/| |\|\|
+-+-+-+-+
|/| |\| |
+-+-+-+-+
|/| | | |
+-+-+-+-+
|/|/|/|/|
+-+-+-+-+
或者,使用“o”和“.”表示已使用和未使用的顶点,如
.-o-o-o-。
|/| |\|\|
o-o-o-o-o
|/| |\| |
o-o-。-o-。
|/| | | |
o-o-o-o-o
|/|/|/|/|
o-o-o-o-。
对于a(5)=16,最佳配置为
///.\
../.\
\\.\\
\./..
\.///
有关更多示例,请参阅链接“n=1..32的最佳配置”。
交叉参考
囊性纤维变性。A000217号(三角形数字),A260708型(相同吗?),A264938型(第一等分?),A264667型.
囊性纤维变性。2017年2月29日(与…相交A000217号).
关键词
非n,更多,美好的
作者
加布里埃拉·平特2015年10月22日,Stephen Wasielewski、Peter Boyland、Ivan Roth、G.Christopher Hruska、Jeb Willenbring
扩展
附加评论和条款a(9)-a(26)来自罗伯特·伊斯雷尔2015年11月1日
此条目是合并两个独立提交的结果,由N.J.A.斯隆2015年11月11日
案例n=27,n=31使用SCIP ILP解算器通过Aleksandr V.Novozhilov先生2025年4月1日
状态
经核准的