G、 f.:A(x)=1+2*x+11*x^2+81*x^3+684*x^4+6257*x^5+60325*x^6+。。。
相关扩展。
A(x)^2=1+4*x+26*x^2+206*x^3+1813*x^4+17032*x^5+。。。
A(x)^3=1+6*x+45*x^2+383*x^3+3519*x^4+34023*x^5+。。。
A(x)^5=1+10*x+95*x^2+925*x^3+9270*x^4+95237*x^5+。。。
其中A(x)=1+x*(A(x)^2+A(x)^3)+x^2*A(x)^5。
g.f.还满足系列要求:
A(x)=1+2*x*A(x)^2+3*x^2*A(x)^4+5*x^3*A(x)^6+8*x^4*A(x)^8+13*x^5*A(x)^10+21*x^6*A(x)^12+34*x^7*A(x)^14+…+斐波纳契(n+2)*x^n*A(x)^(2*n)+。。。
因此,A(x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2)=(1+x)/(1-x-x^2)。
g.f.的对数等于级数:
对数(A(x))=(1+A(x))*x*A(x)+(1+2^2*A(x)+A(x)^2)*x^2*A(x)^2/2+
(1+3^2*A(x)+3^2*A(x)^2+A(x)^3)*x^3*A(x)^3/3+
(1+4^2*A(x)+6^2*A(x)^2+4^2*A(x)^3+A(x)^4)*x^4*A(x)^4/4+
(1+5^2*A(x)+10^2*A(x)^2+10^2*A(x)^3+5^2*A(x)^4+A(x)^5)*x^5*A(x)^5/5+。。。
明确地,
对数(A(x))=2*x+18*x^2/2+185*x^3/3+2006*x^4/4+22412*x^5/5+255249*x^6/6+2946155*x^7/7+34342270*x^8/8+…+L(n)*x^n/n+。。。
式中L(n)=[x^n](1+x)^(2*n)/(1-x-x^2)^(2*n)/2。
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