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(问候来自整数序列在线百科全书!)
甲15654 G、 f.满足:A(x)=(1+x*A(x)^2)*(1+x*A(x)^3)。 9
1、2、11、81、684、6257、60325、603641、6210059、65272503697898849、7566847547、82999675563、919376968734、10269588489433、115548651723889、1308374198000780、1489799318550455、170482798370871370、195957473116424402、226140080212647634411、261915716386286916342 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

更一般地说,对于固定参数p、q、r和s,如果F(x)满足:

F(x)=(1+x^r*F(x)^(p+1))*(1+x^(r+s)*F(x)^(p+q+1)),则

F(x)=exp(和{n>=1}x^(n*r)*F(x)^(n*p)/n*[和{k=0..n}C(n,k)^2*x^(k*s)*F(x)^(k*q)])。

g.f.A(x)的收敛半径r=0.0803583247291483065438962031。。。A(r)=1.53939139145746092822621814021322760790902539070。。。其中y=A(r)满足20*y^3-38*y^2+15*y-6=0。

r=1/(187/300*17^(2/3)+119/75*17^(1/3)+1273/300)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

具有n个内部节点的混合三元树的数目。[洪和公园]。-N、 斯隆2014年3月26日

链接

文琴佐·利班迪,n=0..200时的n,a(n)表

SeoungJi Hong和SeungKyung Park,混合d元树及其推广,公牛。韩国数学。Soc。51(2014),第1期,第229-235页。见第233页。-N、 斯隆2014年3月26日

公式

G、 f.A(x)满足:

(1) A(x)=sqrt((1/x)*系列反转(x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2))。

(2) A(x)=exp(和{n>=1}x^n*A(x)^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*A(x)^k)。

(3) A(x)=exp(Sum{n>=1}x^n*A(x)^(2*n)/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2/A(x)^k)。

(4) A(x)=和{n>=0}斐波纳契(n+2)*x^n*A(x)^(2*n)。

(5) A(x)=G(x*A(x)),其中G(x)=A(x/G(x))是A007863号(具有n个内部节点的混合二叉树的数目)。

g.f.A(x)的形式逆是(sqrt(1-2*x+5*x^2)-(1+x))/(2*x^3)。

a(n)=[x^n]((1+x)/(1-x-x^2))^(2*n+1)/(2*n+1)。

定期:100*(n-1)*n*(2*n-1)*(2*n+1)*(2*n+1)*(4913*n^3-26877*n^2+49912*n-30480)*a(n)=2*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-1)*(62542449*n^5-40468670*n^4+4+99110119*n^3-109861414*n^2+52822608*n-8566560*a(n-1)-3*(23433501*n^7-2211943333*n^6+87905623*n^6+87905623*n*n-1-1)-3*(23433501*n^7-2211943333*^5-187987155*n^4+233161624*n^3-166253172*n^2+62010112*n-8952000)*a(n-2)+6*(n-2)*(2*n-5)*(3*n-8)*(3*n-4)*(4913*n^3-12138*n^2+10897*n-2532)*a(n-3)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

a(n)~1/1020平方米(73695+11730*17^(2/3)+28815*17^(1/3))*(187/300*17^(2/3)+119/75*17^(1/3)+1273/300)^n/(n^(3/2)*sqrt(π))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

a(n)=1/(2*n+1)*和{i=0..n}C(2*n+i,i)*C(2*n+i+1,n-i)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2019年4月4日

例子

G、 f.:A(x)=1+2*x+11*x^2+81*x^3+684*x^4+6257*x^5+60325*x^6+。。。

相关扩展。

A(x)^2=1+4*x+26*x^2+206*x^3+1813*x^4+17032*x^5+。。。

A(x)^3=1+6*x+45*x^2+383*x^3+3519*x^4+34023*x^5+。。。

A(x)^5=1+10*x+95*x^2+925*x^3+9270*x^4+95237*x^5+。。。

其中A(x)=1+x*(A(x)^2+A(x)^3)+x^2*A(x)^5。

g.f.还满足系列要求:

A(x)=1+2*x*A(x)^2+3*x^2*A(x)^4+5*x^3*A(x)^6+8*x^4*A(x)^8+13*x^5*A(x)^10+21*x^6*A(x)^12+34*x^7*A(x)^14+…+斐波纳契(n+2)*x^n*A(x)^(2*n)+。。。

因此,A(x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2)=(1+x)/(1-x-x^2)。

g.f.的对数等于级数:

对数(A(x))=(1+A(x))*x*A(x)+(1+2^2*A(x)+A(x)^2)*x^2*A(x)^2/2+

(1+3^2*A(x)+3^2*A(x)^2+A(x)^3)*x^3*A(x)^3/3+

(1+4^2*A(x)+6^2*A(x)^2+4^2*A(x)^3+A(x)^4)*x^4*A(x)^4/4+

(1+5^2*A(x)+10^2*A(x)^2+10^2*A(x)^3+5^2*A(x)^4+A(x)^5)*x^5*A(x)^5/5+。。。

明确地,

对数(A(x))=2*x+18*x^2/2+185*x^3/3+2006*x^4/4+22412*x^5/5+255249*x^6/6+2946155*x^7/7+34342270*x^8/8+…+L(n)*x^n/n+。。。

式中L(n)=[x^n](1+x)^(2*n)/(1-x-x^2)^(2*n)/2。

枫木

a: =n->coeff(级数(根((1+x*a^2)*(1+x*a^3)-a,a),x,n+1),x,n):

顺序(a(n),n=0..33)#海因茨2019年4月4日

数学

系数列表[Sqrt[1/x*逆数列[x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2,{x,0,20}],x]],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,a=(1+x*a^2)*(1+x*a^3));polcoeff(a,n)}

(PARI){a(n)=polcoeff(sqrt((1/x)*serreverse(x*(1-x-x^2)^2/(1+x+x*O(x^n))^2)),n)}

对于(n=0,31,print1(a(n),“,”)

(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*a^j)*x^m*a^m/m));polcoeff(a,n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2/a^j)*x^m*a^(2*m)/m));波尔科夫(a,n)}

(PARI){a(n)=波尔科夫(((1+x)/(1-x-x^2+x*O(x^n))^(2*n+1)/(2*n+1),n)}

(马克西玛)

a(n):=和(二项式(2*n+i,i)*二项式(2*n+i+1,n-i),i,0,n)/(2*n+1)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2019年4月4日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A007863号,A198953年,甲15624,A1951年.

第k列=第3列A245049号.

上下文顺序:A277500型 邮编:A197718 A309417飞机*A330677型 A209094年 邮编:A293574

相邻序列:A215651 甲15652 甲15653*甲15655 甲15656 甲15657

关键字

作者

保罗·D·汉娜2012年8月19日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年1月17日11:57。包含340240个序列。(运行在oeis4上。)