对于较大的n,似乎比较难计算。(a(n)-n^n)/2总是一个整数,因为它给出了不同交换函数的无序对的数量。
如Holloway和Shattuck(2015)所证明的,a(n)可被n整除。
将右侧的fg=gf乘以f得到fgf=gff,并使用f(gf)=f(fg)=ffg得到ffg=gff;迭代以查看所有k>=1的f^k g=g f^k;通过对称性g^kf=fg^k也成立。
更一般地说,如果X和Y是字母{f,g}上长度为w的单词,那么只要这两个单词都包含j个符号f和k个符号g(以及j+k=w),那么X=Y(作为函数组合)。(结束)
具有相同映射模式的函数具有相同数量的交换函数,因此无需检查每对。 -马丁·富勒2015年2月1日