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1, 12, 119, 1175, 12154, 133938, 1580508, 19978308, 270074016, 3894932448, 59760168192, 972751628160, 16752851775360, 304473528961920, 5825460745532160, 117070467915075840, 2465958106403712000, 54336917746726272000, 1250216389189281024000
评论
高阶指数积分E(x,m=3,n=3)~exp(-x)/x^3*(1-12/x+119/x^2-1175/x^3+12154/x^4-133938/x^5+…)的渐近展开式导出了上述序列。请参见A163931号和A163932号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),米特里诺维奇(1961)引入了数字R_n^m(a,b),使用了稍微不同的符号。米特里诺维奇和米特里诺奇(1962)对其进行了进一步检查。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。
因此,对于n>=m>=1,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R_{n-1}^m(a,b),其中R_1^0(a,b)=a,R_1^1(a,b)=1,并且对于n<m,R_n^m(a,b)=0
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前序列,对于n>=0,a(n)=R{n+2}^2(a=-3,b=-1)。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔,简单标记的网格图案,arXiv预印本arXiv:1201.1323[math.CO],2012。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔,象限标记网格图案,J.国际顺序。15 (2012), #12.4.7.
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。Elektrotehn公司。法克。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,第1期(1926年第3期),第44-49页。[带注释的扫描副本]
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a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n+k)*二项式(k+2,2)*3^k*斯特林1(n+2,k+2)Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{k=0..n-i}二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0..k-1}(-a-j),那么对于n>=2,a(n-2)=|f(n、2,3)|。[米兰Janjic,2008年12月21日]
猜想:a(n)+3*(-n-3)*a(n-1)+(3*n^2+15*n+19)*a-R.J.马塔尔,2018年6月9日
a(n)=[x^2]乘积{r=0}^{n+1}(x+3+r)=(乘积{r=0}^{n+1}(r+3))*Sum_{0<=i<j<=n+1}1/((3+i)*(3+j))。
因为a(n)=R_{n+2}^2(a=-3,b=-1)和A001711号(n) =R{n+1}^1(a=-3,b=-1),方程R{n+2}^2(a=-3,b=-1
(i) a(n)=A001711号(n) 当n>=1时,为+(n+4)*a(n-1)。
(ii)a(n)=(n+2)/当n>=2时,2+(2*n+7)*a(n-1)-(n+3)^2*a(n-2)。
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加上(-1)^(n+k)*二项式(k+2,2)*3^k*斯特林1(n+2,k+2),k=0..n);
结束进程:
数学
nn=22;t=范围[0,nn]!系数列表[级数[Log[1-x]^2/(2*(1-x)^3),{x,0,nn}],x];落差[t,2](*T.D.诺伊2012年8月9日*)
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(PARI)a(n)=总和(k=0,n,(-1)^(n+k)*二项式(k+2,2)*3^k*stirling(n+2,k+2,1))\\米歇尔·马库斯2016年1月20日
(PARI)b(n)=产品(r=0,n+1,r+3);
c(n)=总和(i=0,n+1,总和(j=i+1,n+1、1/((3+i)*(3+j)));
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Borislav Crstici的更多术语(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
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