搜索： a345700-编号：a345700-
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5, 15, 20, 34, 39, 41, 45, 60, 65, 80, 85, 111, 125, 135, 136, 145, 150, 156, 164, 175, 180, 194, 219, 240, 245, 255, 260, 265, 306, 313, 320, 325, 340, 351, 353, 369, 371, 375, 405, 410, 444, 445, 455, 500, 505, 514, 540, 544, 580, 585, 600, 605, 609, 624, 629, 656, 671, 674, 689
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
如果这些项另外具有形式为p＝＝3（mod 4）的素因子，其在A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。（完）
显然，这个序列的绝大多数项只能用一种方式表示为x^2+y^4，其中x，y>0(A345645型列出了这些术语），但有些可以用两种、三种、四种、五种、六种或更多的方式来表示。在该序列的前3976926961项中，
只有1——a（3976926961）=2474052064291275=A346115型（7） --是一个数字，它的平方可以写成x^2+y^4，其中x，y>0正好有7种方式。上述连续计数的比率，即3948648229/25415062、25415062/2697713、2697713/161543、161543/3989、3989/424和424/1，约为155.4、9.4、16.7、40.5、9.4和424.0。是什么（至少在区间[1，2474052064291275]上）使得其平方可以用6种以上的方式写成x^2+y^4，而x，y>0的数字比用6种方式写成的数字要罕见得多？（完）
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链接
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例子
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5^2=25=9+16=3^2+2^4，所以5是一个项。
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数学
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选择[Range@200，Resolve[Exists[{x，y}，Reduce[#^2==x^2+y^4，{x，y}，Integers]，And[x>0，y>0]&](*迈克尔·德弗利格2016年4月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）isok（n）=n=n^2；对于（k=1，n-1，如果（issquare（k）&&（p=ispower（n-k，4）），返回（1））
（PARI）是（n）=我的（n2=n^2）；对于（b=sqrtnint（2*n-2，4）+1，sqrtint（n-1），如果（issquare（n2-b^4），return（1）））；0 \\查尔斯·格里特豪斯四世2021年11月16日
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非n
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经核准的
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A346110型
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| 其平方可以精确地用四种方式表示为正平方和正四次幂之和的数字。 |
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469625, 1878500, 2224625, 4226625, 7514000, 8898500, 11740625, 15289625, 16906500, 20021625, 23011625, 25716665, 30056000, 35594000, 38039625, 46962500, 54316275, 55615625, 56824625, 61158500, 67626000, 79366625, 80086500, 92046500, 92481870
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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项是数字z，因此z^2=x^2+y^4正好有四个解，其中x、y和z属于正整数集。
术语不能是正方形（请参阅中Altug Alkan的注释11925年).
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
如果这些项还有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。
特殊素因子2具有相同的行为。意思是：如果项是偶数，那么x和y也必须是偶数。
是的，也有例外：a（44,46,53,95,97）不能被65（5*13）整除，但它们有共同点：它们可以被145（5*29）整除-卡尔·海因茨·霍夫曼2021年8月28日
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链接
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例子
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29679^2=29640^2+39^4，所以29679不是一个项（只有一个解）。
60^2+5^4=63^2+4^4=65^2，所以65不是一个项（只有两个解）。
572^2+39^4=1500^2+25^4=1575^2+20^4=1625^2，所以1625不是一个项（只有三个解）。
165308^2+663^4=349575^2+560^4=433500^2+425^4=455175^2+340^4=469625^2，所以469625是一个项（四个解）。
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黄体脂酮素
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（Python）请参阅上面的链接
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非n
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经核准的
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A345645型
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| 其平方可以精确地表示为平方和二次方（四次方）之和的数字。 |
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5, 15, 20, 34, 39, 41, 45, 60, 80, 85, 111, 125, 135, 136, 150, 156, 164, 175, 180, 194, 219, 240, 245, 255, 265, 306, 313, 320, 325, 340, 351, 353, 369, 371, 375, 405, 410, 444, 445, 455, 500, 505, 514, 540, 544, 600, 605, 609, 624, 629, 656, 671, 674, 689
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对z进行编号，以便z^2=x^2+y^4只有一个解。
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即勾股素(A002144号).
此外，如果这些项具有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。
特殊素因子2具有相同的行为，即，如果项是偶数，则x和y也必须是偶数。（完）
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链接
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例子
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3^2+2^4=9+16=25=5^2，所以5是一个项。
60^2+5^4=63^2+4^4=65^2，所以65不是一个术语。
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数学
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选择[范围@100, 长度@解算[x^2+y^4==#^2&&x>0&y>0，{x，y}，整数]==1&](*乔尔戈斯·卡洛杰罗普洛斯2021年6月25日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
条款=[]
对于范围（1700）内的i：
发生=0
ii=i*i
对于范围（1，i）中的j：
k=整数（（ii-j*j）**0.25）
如果k*k*kxk+j*j==ii：
发生+=1
如果发生==1：
条款.附录（i）
打印（条款）
（PARI）inlist（list，v）=对于（i=1，#list，if（list[i]==v，return（1）））；
isok（m）={my（list=list（））；对于（k=1，sqrtnint（m^2，4）），如果（issquare（j=m^2-k^4）&&！inlist（vecsort（[k^4，j^2]））），listput（list，vecsort，[k^4]））；）；#list==1；}\\米歇尔·马库斯2021年6月26日
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非n
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经核准的
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1625, 6500, 14625, 18785, 24505, 26000, 40625, 58500, 75140, 79625, 88985, 98020, 104000, 120250, 131625, 162500, 169065, 196625, 220545, 234000, 274625, 296225, 300560, 318500, 355940, 365625, 392080, 416000, 481000, 526500, 547230, 586625, 611585, 612625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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项是数字z，因此z^2=x^2+y^4正好有3个解，其中x、y和z属于正整数集。
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
此外，如果这些项具有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。
特殊素因子2具有相同的行为，即，如果项是偶数，则x和y也必须是偶数。
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链接
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例子
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29640^2 + 39^4 = 29679^2; 29679不是一个术语（只有一个解决方案）。
60^2 + 5^4 = 63^2 + 4^4 = 65^2; 65不是一个术语（只有两种解决方案）。
572^2 + 39^4 = 1500^2 + 25^4 = 1575^2 + 20^4 = 1625^2; 1625是一个术语（3个解决方案）。
165308^2 + 663^4 = 349575^2 + 560^4 = 433500^2 + 425^4 = 455175^2 + 340^4 = 469625^2; 469625不是一个术语（4个解决方案）。
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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A346115型
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| 最小的数字k，使得k^2可以用n种方式精确地表示为x^2+y^4，{x，y}>=1。 |
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5, 65, 1625, 469625, 642916625, 15697403475, 2474052064291275
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（6）<=15697403475。
2*10^10<a（7）<=2474052064291275。
这两个推测值来自“绿色组”。到第a（5）项为止，最少的解决方案属于“蓝色组”。按照下面的链接获取有关不同颜色组的更多信息。
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
如果这些项还有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。特殊素因子2具有相同的行为，即，如果项是偶数，那么x和y也必须是偶数。（完）
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链接
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例子
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A348655飞机
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| 其平方可以精确地用五种方式表示为正平方和正四次幂之和的数字。 |
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642916625, 2571666500, 4418701625, 5786249625, 10286666000, 16072915625, 17674806500, 20931496625, 23144998500, 31502914625, 39768314625, 41146664000, 52076246625, 57801168750, 64291662500, 70699226000, 77792911625, 83725986500, 92579994000, 108652909625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数字z，使得z ^2=x ^2+y ^4正好有5个解。
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
如果这些项还有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。
该序列的其他一些术语：20931496625、23144998500、31502914625、41146664000、52076246625、64291662500、77792911625、83725986500、92579994000、108652909625、126011658500、144656240625、164586656000-柴华武2021年10月29日
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链接
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例子
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5786249625^2 = 5785404300^2 + 9945^4
5786249625^2 = 5608211175^2 + 37740^4
5786249625^2 = 5341153500^2 + 47175^4
5786249625^2 = 4307113575^2 + 62160^4
5786249625^2 = 2036759868^2 + 73593^4
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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15697403475, 62789613900, 141276631275, 251158455600, 392435086875, 565106525100, 769172770275, 1004633822400, 1271489681475, 1569740347500, 1899385820475, 2260426100400, 2652861187275, 3076691081100, 3531915781875, 4018535289600, 4536549604275, 5085958725900
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对z进行编号，使z^2=x^2+y^4正好有6个解，其中x，y，z是正整数。
注意，y^4=z^2-x^2=（z-x）*（z+x），所以每个解对应一个正整数y和一个将y^4分解为两个正整数f=z-x和g=z+x的因式分解。我们需要f<g使x>0，我们需要f=g（mod 2）使（f+g）/2=（z-x+z-x）/2=z成为一个整数。
还要注意，从y^4=z^2-x^2开始，y<sqrt（z）。
因此，给定某个值zMax，我们可以通过简单地计算z=（f+y^4/f）/2（1）y^4的每个除数f（<y^2）对于每个奇数y<sqrt（zMax）和（2）y^ 4的每个偶数除数f，并丢弃那些超过zMax的结果。对于任何给定的y，f的值越小，得到的z就越大。因此，对于每个y，我们可以按降序测试y^4的小于y^2的除数，并在耗尽所有允许的除数或获得超过zMax的z值后立即转到下一个y值。
例如，要获得z<=100的每个解决方案的z值，我们可以在1..9中为每个y乘以y^4，如下所示：
.
y y ^4 f g=y ^4/f z=（f+g）/2（或注释）
- ---- -- --------- -------------------------------
1 1 - - -
2 16 2 8（2+8）/2=5（溶液）
381 327（3+27）/2=15（溶液）
“”1 81（1+81）/2=41（溶液）
4 256 8 32（8+32）/2=20（溶液）
“”4 64（4+64）/2=34（解决方案）
“”2 128（2+128）/2=65（解决方案）
5 625 5 125（5+125）/2=65（溶液）
" " 1 625 ( 1 + 625)/2 = 313 > 100
6 1296 24 54（24+54）/2=39（溶液）
“”18 72（18+72）/2=45（溶液）
“”12 108（12+108）/2=60（溶液）
“”8 162（8+162）/2=85（溶液）
" " 6 216 ( 6 + 216)/2 = 111 > 100
7 2401 7 343 ( 7 + 343)/2 = 175 > 100
8 4096 32 128（32+128）/2=80（解决方案）
" " 16 256 (16 + 256)/2 = 136 > 100
9 6561 27 243 (27 + 243)/2 = 135 > 100
.
因此，按升序排序，出现的z值<=100是5、15、20、34、39、41、45、65、65、60、80、85。（最小的z值5只出现一次，所以它是A345645型(1); 65，出现两次的最小值为A345700型(1).)
术语不能是正方形（请参阅中Altug Alkan的注释11925年).
项必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
如果这些项还有形式为p==3（mod 4）的素因子，则A002145号则它们也必须出现在x和y的素除数集中。
特殊素因子2具有相同的行为，即，如果项是偶数，则x和y也必须是偶数。（完）
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链接
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例子
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15697403475^2 = 13780596525^2 + 86700^4
= 13195420077^2 + 92208^4
= 11468350875^2 + 103530^4
= 10710751443^2 + 107124^4
= 9221086875^2 + 112710^4
= 4878327597^2 + 122148^4.
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A349664飞机
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| a（n）是n^4=z^2-x^2且{z，x}>=1的解的数目。 |
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+10
2
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0, 1, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 4, 7, 2, 17, 2, 7, 12, 7, 2, 13, 2, 17, 12, 7, 2, 27, 4, 7, 6, 17, 2, 37, 2, 9, 12, 7, 12, 31, 2, 7, 12, 27, 2, 37, 2, 17, 22, 7, 2, 37, 4, 13, 12, 17, 2, 19, 12, 27, 12, 7, 2, 87, 2, 7, 22, 11, 12, 37, 2, 17, 12, 37, 2, 49, 2, 7, 22
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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如果n是奇数素数^i，解的数目是2*i。
如果n=2^i，解的数目是2*i-1。
这两个事实通常对术语>6无效。
如果a（n）=2，n是奇数素数。这通常反过来有效。
有关这些事实的更多信息，请参阅链接。
有效的可数解需要满足的条件：
-z不能是正方形。
-z必须至少有一个形式为p==1（mod 4）的素数因子，即毕达哥拉斯素数(A002144号).
-如果z具有p==3（mod 4）形式的素因子A002145号则它们也必须出现在x和n的素除数集中。
-如果z是偶数，那么x和n也必须是偶数。
-比值x/n的下限为sqrt（2）。
-z和x的上限：
|n是奇数|n是偶数
---------+------------------+------------------
z极限|（n^4+1）/2|（n*4+4）/4
x极限|（n^4+1）/2-1 |（n*4+4）/4-2
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链接
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例子
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a（6）=7（解决方案）：6^4=1296=325^2-323^2=164^2-160^2=111^2-105^2=85^2-77^2=60^2-48^2=45^2-27^2=39^2-15^2。
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数学
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a[n_]：=长度[求解[n^4==z^2-x^2&&x>=1&z>=1，{x，z}，整数]]；数组[a，75](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年12月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=numdiv（如果（n%2，n^4，n^4/4））\\王金源2021年12月19日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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