显示找到的12个结果中的1-10个。
产品的扩展{k>=1}（1+4^（k-1）*x^k）。
+10
7
1, 1, 4, 20, 80, 384, 1600, 7424, 30720, 143360, 593920, 2703360, 11403264, 51118080, 214958080, 965738496, 4047503360, 17951621120, 76168560640, 334202142720, 1411970498560, 6211596451840, 26203595472896, 114246130073600, 484815908372480, 2101441598586880, 8896148580335616
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*4^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/4））^（1/4）*4^n*exp（2*sqrt（-pol/log（2,1/4）*n））/（2*m2（5*Pi/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=26；系数列表[系列[乘积[（1+4^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，{k}]，UnsameQ@#&]]4^（n-k），{k，0，Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]}]，{n，0，26}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={Vec（prod（k=1，n，1+4^（k-1）*x^k+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A261568型,A304961型,A338673型,A340103型,A344062型,A344064型,A344065型,A344066飞机,A344067型,A344068型.
产品的扩展{k>=1}（1+5^（k-1）*x^k）。
+10
7
1, 1, 5, 30, 150, 875, 4500, 25625, 131250, 750000, 3843750, 21562500, 112109375, 621093750, 3222656250, 17880859375, 92578125000, 508300781250, 2658691406250, 14465332031250, 75439453125000, 411254882812500, 2142486572265625, 11590576171875000, 60722351074218750, 326728820800781250
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*5^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/5））^（1/4）*5^n*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=25；系数列表[系列[乘积[（1+5^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，{k}]，UnsameQ@#&]]5^（n-k），{k，0，Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]}]，{n，0，25}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={Vec（prod（k=1，n，1+5^（k-1）*x^k+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A261569型,A304961型,A338674型,A340103型,A344062型,A344063型,A344065型,A344066飞机,A344067型,A344068型.
产品的扩展{k>=1}（1+6^（k-1）*x^k）。
+10
6
1, 1, 6, 42, 252, 1728, 10584, 71280, 435456, 2939328, 17962560, 119532672, 739031040, 4867527168, 30051689472, 198147658752, 1221537687552, 7984437608448, 49643697954816, 321998350270464, 1997815999463424, 12977575759282176, 80455233450737664, 519208351807832064
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*6^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/6））^（1/4）*6^n*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=23；系数列表[系列[乘积[（1+6^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，｛k｝]，UnnameQ@#&]]6^（n-k），｛k，0，Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]｝]，｛n，0，23｝]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={Vec（prod（k=1，n，1+6^（k-1）*x^k+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A304961型,A338675型,A340103型,A344062型,A344063型,A344064型,A344066飞机,A344067型,A344068型.
产品的扩展{k>=1}（1+7^（k-1）*x^k）。
+10
6
1, 1, 7, 56, 392, 3087, 21952, 170471, 1210104, 9411920, 66824632, 513890832, 3683707839, 28086110472, 201122377288, 1534688027817, 10978118077136, 83158453503608, 599161640356888, 4508826988300152, 32435340235930576, 244366486039786096, 1756858874561956865, 13161303959340223232
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*7^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/7））^（1/4）*7^n*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=23；系数列表[系列[积[（1+7^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，{k}]，UnsameQ@#&]]7^（n-k），{k，0，Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]}]，{n，0，23}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）=｛Vec（prod（k=1，n，1+7^（k-1）*x^k+O（x*x^n））｝\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A304961型,A338676型,A340103型,A344062型,A344063型,A344064型,A344065型,A344067型,A344068型.
产品的扩展{k>=1}（1+8^（k-1）*x^k）。
+10
6
1, 1, 8, 72, 576, 5120, 41472, 364544, 2949120, 25952256, 209977344, 1830813696, 14931722240, 129251672064, 1053340729344, 9123584278528, 74294344286208, 639503450505216, 5239722662166528, 44846880273727488, 367008185258606592, 3144110674230116352, 25718087147075928064
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*8^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/8））^（1/4）*8^n*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=22；系数列表[系列[乘积[（1+8^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，{k}]，UnsameQ@#&]]8^（n-k），{k，0，Floor[（Sqrt[8 n+1]-1）/2]}]，{n，0，22}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={Vec（prod（k=1，n，1+8^（k-1）*x^k+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A304961型,A338677型,A340103型,A344062型,A344063型,A344064型,A344065型,A344066飞机,A344068型.
产品的扩展{k>=1}（1+9^（k-1）*x^k）。
+10
6
1, 1, 9, 90, 810, 8019, 72900, 715149, 6495390, 63772920, 579270690, 5643903420, 51613018479, 499772430810, 4567687565310, 44250780833091, 404188047763920, 3894703308072990, 35764052204589030, 342923118899865390, 3146016498406236720, 30187757787717436380, 276843069234653897241
评论
一般来说，如果g.f=Product_{k>=1}（1+d^（k-1）*x^k），其中d>1，则a（n）~（-polylog（2，-1/d））-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
配方奶粉
a（n）=总和{k=0。。A003056美元（n） }q（n，k）*9^（n-k），其中q（n、k）是n划分为k个不同部分的数目。
a（n）~（-polylog（2，-1/9））^（1/4）*9^n*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月9日
数学
nmax=22；系数列表[系列[积[（1+9^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[Length[Select[IntegerPartitions[n，{k}]，UnsameQ@#&]]9^（n-k），{k，0，Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]}]，{n，0，22}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={Vec（prod（k=1，n，1+9^（k-1）*x^k+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A003056美元,A008289年,A304961型,A338678,A340103型,A344062型,A344063型,A344064型,A344065型,A344066飞机,A344067型.
产品扩展_｛k>=1｝1/（1+3^（k-1）*x^k）。
+10
4
1, -1, -2, -7, -11, -43, -65, -259, -146, -1798, 826, -8116, 17593, -35089, 301903, -308464, 3582403, 157367, 28816009, 9388694, 329375419, -61352008, 2991009094, 509592773, 23675224255, 1207374806, 229200996508, -129896994130, 2090952547882, -816324790165, 14079091274800
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*p（n，k）*3^（n-k），其中p（n、k）是n分为k部分的分区数。
数学
nmax=30；系数列表[系列[乘积[1/（1+3^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
表[Sum[（-1）^k Length[整数分区[n，｛k｝]3^（n-k），｛k，0，n｝]，｛n，0，30｝]
乘积展开式{n>=1}（1-3^（n-1）*x^n）*（1+3^（n-1）*x ^n）^2。
+10
4
1, 1, 2, 11, 24, 114, 297, 1224, 3240, 13230, 37017, 138510, 407754, 1469664, 4413366, 15717969, 47239200, 163408266, 511758000, 1719152586, 5348422224, 18083342907, 56672868240, 187301066040, 594207370746, 1947548449296, 6185182455792, 20263641256656, 64084643627283
评论
与乘积{n>=1}（1-3^n*x^n）*（1+3^n*x^n）^2=Sum_{n>=0}3^（n*（n+1）/2）*x^（n*（n+1）/2）进行比较。
一般来说，对于d>1，如果g.f=Product_{k>=1}（1-d^（k-1）*x^k）*（1+d^-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年2月26日
配方奶粉
a（n）~c^（1/4）*3^（n+3/2）*exp（2*sqrt（c*n））/（2^（7/2）*sqrt（Pi）*n^（3/4）），其中c=-2*polylog（2，-1/3）-polylog（2,1/3）=0.2518530229985534570173197-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年2月26日
例子
通用公式：A（x）=1+x+2*x^2+11*x^3+24*x^4+114*x^5+297*x^6+1224*x^7+3240*x^8+13230*x^9+37017*x^10+138510*x^11+407754*x ^12+。。。
式中，A（x）是无穷乘积的级数展开式，由
A（x）=（1-x）*（1+x）^2*（1-3*x^2）*（3+3*x*^2）^2x（1-9*x^3）*（1-3^（n-1）*x^n）*（1+3^（n-1）*x ^n）^2*。。。
将A（x）与类似无穷乘积产生的级数进行比较：
（1-3*x）*（1+3*x）^2*（1-9*x^2）*1+3*x+27*x^3+729*x^6+59049*x^10+14348907*x^15+10460353203*x^21+22876792454961*x^28+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（prod（k=1，n，（1-3^（k-1）*x^k）*（1+3^（k-1）*x^k）^2+x*O（x^n）），n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
a（n）=4^n*[x^n]产品_｛k>=1｝（1+3*x^k）^（1/2）。
+10
4
1, 6, 6, 348, -570, 12084, -31332, 780792, -6111930, 65506884, -599418444, 6707736456, -69508986852, 738378468744, -7878832564872, 85524000547056, -929068361832378, 10158667075255524, -111690827626777788, 1234592278534799592, -13700571880245603276, 152613494540593338264
配方奶粉
G.f.：产品{k>=1}（1+3*（4*x）^k）^（1/2）。
a（n）~（-1）^（n+1）*c*12^n/n^（3/2），其中c=QPochhammer（-1/3）*（1/2）/（2*sqrt（Pi））=0.3112833821852763477775502154581850436407169685238。。。
数学
nmax=30；系数列表[系列[产品[（1+3*x^k），｛k，1，nmax｝]^（1/2），｛x，0，nmax｝]，x]*4^范围[0，nmax]
nmax=30；系数列表[系列[积[（1+3*（4*x）^k），{k，1，nmax}]^（1/2），{x，0，nmax{]，x]
nmax=30；系数列表[系列[Sqrt[QPochhammer[-3，x]/4]，{x，0，nmax}]，x]*4^范围[0，nmax]
a（n）=3^n*[x^n]产品{k>=1}（1+3*x^k）^（1/3）。
+10
4
1, 3, 0, 99, -270, 2430, -10287, 105462, -750141, 5702481, -42623901, 347424633, -2779077762, 22353287634, -181730796723, 1493711042589, -12321529794261, 102125312638713, -850797139405887, 7120067746384863, -59800770201017934, 503922807927384129, -4259721779079782751
配方奶粉
G.f.：产品{k>=1}（1+3*（3*x）^k）^（1/3）。
a（n）~（-1）^（n+1）*c*9^n/n^（4/3），其中c=Q电锤（-1/3）^（1/3）/（3*伽马（2/3））=0.2262860302373105271371291957730496322329245126572。。。
数学
nmax=30；系数列表[系列[积[（1+3*x^k），{k，1，nmax}]^（1/3），{x，0，nmax{]，x]*3^范围[0，nmax]
nmax=30；系数列表[系列[乘积[（1+3*（3*x）^k），{k，1，nmax}]^（1/3），{x，0，nmax{]，x]
nmax=30；系数列表[系列[（QPochhammer[-3，x]/4）^（1/3），{x，0，nmax}]，x]*3^范围[0，nmax]
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