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按行读取三角形:B型欧拉数T(n,k)(1<=k<=n)由T(n、1)=T(n)=1给出,否则T(n和k)=(2*n-2*k+1)*T(n-1,k-1)+(2*k-1)*T。
+10 119
1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 23, 23, 1, 1, 76, 230, 76, 1, 1, 237, 1682, 1682, 237, 1, 1, 722, 10543, 23548, 10543, 722, 1, 1, 2179, 60657, 259723, 259723, 60657, 2179, 1, 1, 6552, 331612, 2485288, 4675014, 2485288, 331612, 6552, 1, 1, 19673, 1756340, 21707972, 69413294, 69413294, 21707972, 1756340, 19673, 1
评论
行是p(x,n)=2^n*(1-x)^(1+n)*LerchPhi(x,-n,1/2)的展开式。行总和为A000165号. -罗杰·L·巴古拉2008年9月16日
B型欧拉数。这个三角形的第n行是B_(n-1)型置换面体的对偶单纯形复形的h向量。例如,B_2型的置换面体是一个八角形,它的对偶,也是一个八角形,具有f多项式f(x)=1+8*x+8*x^2和h多项式,由(x-1)^2+8*(x-1,+8=1+6*x+x^2给出,给出[1,6,1]作为该表的第3行(见Fomin和Reading,第21页)。B型全自面体对应的f向量三角形为A145901号。当前数组的希尔伯特变换为A145905号. -彼得·巴拉2008年10月26日
行多项式根据B型下降的数量计算超八面体群B_n(n个字母上的有符号置换组)的元素(参见Chow和Gessel)。
让P表示帕斯卡三角形。然后数组P*(I-t*P^2)^(-1)(I为单位数组)的第一列开始于[1/(1-t),(1+t)/(1-t)^2,(1+6*t+t^2)/(1-t)^3,…]。分子多项式是该表的行多项式。类似地,在数组(I-t*2015年6月15日)^-1,第一列中的分子多项式生成此表的行多项式(但有一个额外的因子t)。囊性纤维变性。A145901号.(结束)
Dasse-Hartaut和Hitczenko的论文(第6.1.4节)显示,当适当规范化时,这个数字三角形满足中心极限定理-彼得·巴拉2012年3月5日
这些是中点欧拉多项式的系数(参见Quade/Collatz和Schoenberg)。根据基数B样条B_n(t),这些多项式可以定义为M_n(x)=2^n*n*和{k=0..n}b_{n+1}(k+1/2)*x^k-彼得·卢什尼2013年4月26日
Godd(n,x)=Sum_{m>=0}Sodd(n,m)*x^m,其中Sodd(n,m)=Sum_{j=0..m}(1+2*j)^n是Podd(n,x)/(1-x)^(n+2),其中Podd(n,x)=Sum_{k=0..n}T(n+1,k+1)*x^k。例如,Godd(2,x)=(1+6*x+x^2)/(1-x)^4;看见A000447号(n+1)对于n>=0。有关示例f.s,请参见A282628型. -沃尔夫迪特·朗,2017年3月17日
设h_0(x,y)=x*y/(x+y),D=x*D_x-y*D_y,其中D_x是w.r.t.x等的偏导数。那么h_n(x,y)=x*y/(x+y)^(n+1)*f_{n}T(n+1,k+1)*y^(n-k)*x^k。(如果不考虑D,而是考虑D'=x*D_x+y*D_y,则h_0和g_0是D'的不动点。)-格雷戈里·杰拉德·沃纳2018年10月28日
按转角秩计算无圈Schubert三角洲,参见Eur,Fink,Larson,Spink论文的备注4.6-网站行销经理拉尔森2024年5月20日
参考文献
G.Boros和V.H.Moll,《不可抗拒的积分:积分评估中的符号学、分析和实验》,剑桥大学出版社,2004年。
T.K.Petersen,《欧拉数字》,Birkhauser,2015年,第11章。
W.Quade和L.Collatz,Zur Interpolationtheorie der relelen periodischen Funktitonen。Sitzungsbericht der Preuss公司。阿卡德。威斯康星州。,物理学-数学。Kl,(1938),第383-429页。
链接
让-克里斯托弗·阿瓦尔、阿德里安·布西科和菲利普·纳多,树状Tableaux《组合数学电子杂志》,20(4),2013,#P34。
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谢尔盖·福明和内森·雷丁,根系与广义副总科,IAS/Park-City 2004课堂讲稿,arXiv:math/0505518[math.CO],2005-2008。
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理查德·斯坦利(Richard P.Stanley)和法布里奇奥·萨内洛(Fabrizio Zanello),关于q系数的一些渐近结果, 2014.
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G.斯特拉瑟,欧拉法的推广,数学。程序。外倾角。Phil.Soc.150(2010)241-256,三角形A_2(n,k)。
配方奶粉
T(s,2)=3^(s-1)-s求和{T=1..s}T(s)=2^(s-1)*(s-1!。
T(n,k)=和{i=1..k}(-1)^(k-i)*二项式(n,k-i)x(2*i-1)^。
例如:(1-x)*exp((1-x。
行多项式R(n,x)满足R(n、x)/(1-x)^n=Sum_{i>=1}(2*i-1)^(n-1)*x^i。例如,行3给出(x+6*x^2+x^3)/(1-x)^3=x+3^2*x^2+5^2*x^3+。
递推关系R(n+1,x)=[(2*n+1)*x-1]*R(n,x)+2*x*(1-x)*R'(n,x)表明行多项式R(n、x)只有实数零(应用[Liu和Wang]的推论1.2)。
Worpitzky型恒等式:求和{k=1..n}T(n,k)*二项式(x+k-1,n-1)=(2*x+1)^(n-1)。
exp(x)*(d/dx)^n[导出(x)/(1-导出(2*x))]=R(n+1,导出(2**))/(1-exp(2*x))^(n+1)。
与示例12.3.1进行比较。在[Boros和Moll]-彼得·巴拉2008年11月7日
第n行多项式R(n,x)=Sum_{k=0..n}A145901号(n,k)*x^k*(1-x)^(n-k)=和{k=0..n}A145901号(n,k)*(x-1)^(n-k)-彼得·巴拉2014年7月22日
假设偏移量为0,则第n行多项式=(x-1)^n*log(x)*Integral_{u=0.inf}(2*floor(u)+1)^n*x^(-u)du,前提是x>1-彼得·巴拉,2015年2月6日
连续奇整数幂的有限和是从这个数字三角形导出的:Sum_{k=1..n}(2k-1)^m=Sum_{j=1..m+1}二项式(n+m+1-j,m+1)*T(m+1,j)-托尼·福斯特三世2018年2月9日
例子
三角形T(n,k)开始于:
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8。。。
1: 1
2: 1 1
3: 1 6 1
4: 1 23 23 1
5: 1 76 230 76 1
6: 1 237 1682 1682 237 1
7: 1 722 10543 23548 10543 722 1
8: 1 2179 60657 259723 259723 60657 2179 1
...
行n=9:1 6552 331612 2485288 4675014 2485288331612 6552 1,
行n=10:1 19673 1756340 21707972 69413294 6941329421707962 1756340 19673 1,
行n=11:1 59038 9116141 178300904 906923282 1527092468 9069232821783009049116141 59038 1。。。重新格式化-沃尔夫迪特·朗,2017年3月17日
MAPLE公司
A060187号:=(n,k)->加((-1)^(k-i)*二项式(n,k-i)x(2*i-1)^
T: =proc(n,k,l)选项记忆;如果(n=1或k=1或k=n),则1其他
(l*n-l*k+1)*T(n-1,k-1,l)+;fi;结束;
对于从1到10的n,进行lprint([seq(T(n,k,2),k=1..n)]);od#N.J.A.斯隆2013年5月8日
P:=proc(n,x)选项记忆;如果n=0,则为1
(n*x+(1/2)*(1-x))*P(n-1,x)+x*(1-x)*diff(P(n-1,x),x);
扩展(%)fi结束:
数学
p[x_,n_]=2^n(1-x)^(1+n)LerchPhi[x,-n,1/2];表[系数列表[p[x,n],x],{n,0,10}]//展平(*罗杰·L·巴古拉2008年9月16日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=如果(n<k | | k<1,0,sum(i=1,k,(-1)^(k-i)*二项式(n,k-i)*(2*i-1)^(n-1)))}/*迈克尔·索莫斯2011年1月7日*/
(鼠尾草)
@缓存函数
如果n==0:如果k==0,则返回1,否则为0
(GAP)a:=Flat(List([1..11],n->List([1..n],k->Sum([1..k],i->(-1)^(k-i)*二项式(n,k-i)*(2*i-1)^(n-1))))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月9日
(岩浆)[[(&+[(-1)^(k-j)*二项式(n,k-j)*(2*j-1)^(n-1):j在[1..k]]):k在[1..n]]:n在[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月8日
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