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搜索: a174406-编号:a174406
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A002804号 (假定)Waring问题的解决方案:g(n)=2^n+floor((3/2)^n)-2。
(原名M3361 N1353)
+10
24
1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, 2102137, 4201783, 8399828, 16794048, 33579681, 67146738, 134274541, 268520676, 536998744, 1073933573, 2147771272, 4295398733, 8590581749 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
g(n)是最小的数s,使得每个自然数最多是自然数的s次幂的和。
众所周知(Kubina和Wunderlich,1990),g(n)=2^n+floor((3/2)^n)-2代表所有n<=471600000。推测此公式对所有n都是正确的(参见A174420号).
马勒表明,只有有限多的n是这个公式失败的-山田友弘2017年9月23日
这个序列(对应于Waring的原始猜想)比A079611号对于几乎所有(=足够大的)整数,寻找最小s=G(n)的问题。请参阅维基百科(Wikipedia),以获得一个单行证明,即J.a.Euler在1772年猜测的g(n)的值确实是一个下限;已知2^n*frac((3/2)^n)+floor((3/2)^ n)<=2^n是紧的,且此不等式没有反例-M.F.哈斯勒2014年6月29日
参考文献
卡尔文·C·克劳森(Calvin C.Clawson),《数学的奥秘:数字的美丽和魔力》(1996年基础图书)252-257。
G.H.Hardy,《论文集》。卷。1-,牛津大学出版社,1966-;见第一卷,第668页。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第337页。
S.Pillai,《关于Waring问题》,《印度数学杂志》。《社会学杂志》,第2期(1936年),第16-44页
J.Roberts,《整数的诱惑》,数学。美国协会,1992年,第138页。
P.Ribenboim,《素数记录簿》。Springer-Verlag,纽约州,第二版,1989年,第239页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley,《Waring的问题:一项调查》,第285-324页,《数论调查》(Urbana,2000年5月21日),编辑M.a.Bennett等人,彼得斯,2003年。
爱德华·沃林(Edward Waring),《代数冥想师》(Meditationes algebraicae),坎塔布里亚:典型的学院(Academicis excudebat J.Archdeacon),1770年。
链接
Brennan Benfield和Oliver Lippard,不是正幂和的整数,arXiv:2404.08193[math.NT],2024。
Leonard E.Dickson,Waring问题及其推广《AMS公报》,42(1936)833-842。
Jeffrey M.Kubina和Marvin C.Wunderlich,将Waring猜想推广到471600000,数学。公司。,55,第192号(1990):815-820。
A.V.Kumchev和D.I.Tolev,加法数论邀请函,arXiv:math/0412220[math.NT],2004年。
刘飞虎和辛国策,关于幂序列的Frobenius公式,arXiv:2210.02722[math.CO],2022年。见第22页。
库尔特·马勒,有理数幂的分数部分(Ⅱ),Mathematika,4(1957)122-124数学。版本20:33。
拉明·塔克鲁-比哈什,几何呢?,《毕达哥拉斯数论导论》,《数学本科生教材》,查姆斯普林格,2018,165-185。
米歇尔·沃尔德施米特,开放性丢番图问题,arXiv:math/0312440[math.NT],2003-2004。
埃里克·魏斯坦的数学世界,Waring的问题.
维基百科,Waring的问题.
枫木
A002804号:=n->2^n+楼层((3/2)^n)-2;
数学
a[n_]:=2^n+楼层[(3/2)^n]-2;数组[a,31](*罗伯特·威尔逊v2013年10月29日*)
x[n]:=-(1/2)+(3/2)^n+ArcTan[Cot[(3/2,^n Pi]]/Pi;a[n]:=2^n+x[n]-2;数组[a,31](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2018年1月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=2^n+(3^n>>n)-2\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月1日
(岩浆)[2^n+楼层((3/2)^n)-2:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年8月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A002376号,A002377号,A079611号,A174406号,A174420号,A297446号(有关Mathematica函数的信息)。
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
A079611号 Waring的问题:G(n)的猜想值,最小的数m,使得每个足够大的数都是正整数的n次方之和。 +10
9
1, 4, 4, 16, 6, 9, 8, 32, 13, 12, 12, 16, 14, 15, 16, 64, 18, 27, 20, 25 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
唯一确定的值是G(1)=1、G(2)=4和G(4)=16。
请参见A002804号对于Waring的原始猜想这一更简单的问题,它没有将界限限制为“足够大”的数字-M.F.哈斯勒2014年6月29日
参考文献
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第395页(显示G(4)>=16)。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley,《Waring的问题:一项调查》,第285-324页,《数论调查》(Urbana,2000年5月21日),编辑M.a.Bennett等人,彼得斯,2003年。
链接
H.Davenport,论华林的第四大国问题《数学年鉴》,40(1939),731-747。(表示G(4)<=16。)
维基百科,Waring的问题.
特雷弗·D·伍利,关于中间势力的Waring问题,arXiv:1602.03221[math.NT],2016年。
例子
众所周知,每个足够大的数都是16的四次幂之和,16是具有这个性质的最小数,因此a(4)=G(4)=16。(数字16^k*31不是小于16的四次幂的和。)
交叉参考
关键词
非n,坚硬的,更多
作者
N.J.A.斯隆2003年1月28日;条目于2014年6月29日修订。
状态
经核准的
A287286号 a(n)=最小整数s,使得任意t的整数环modt的每个元素都可以写成s的n次幂之和。 +10
2
1, 4, 4, 15, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69, 71, 6, 73, 16, 74, 75, 16, 14, 84 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
只需检查有限数量的值(取决于功率)。
有关精确的定量信息,请参阅参考文献中的Small论文。
a(2)<=4遵循拉格朗日四平方定理。
不同于A040004号仅在k=4时-安德烈·扎博洛茨基2017年6月3日
参考文献
G.H.Hardy和J.E.Littlewood,“数值分区”的一些问题(VIII):Waring问题中的数字Gamma(k),Proc London Math Soc.28(1928),518-542。[G.H.Hardy,《论文集》,第1-卷,牛津大学出版社,1966-;见第1卷,第406-530页。]
Wladyslaw Narkiewicz,《20世纪的有理数理论:从PNT到FLT》,施普林格科学与商业媒体,2011年,第154-155页。
链接
H.Sekigawa和K.Koyama,同余x_1^k+…+解的不存在条件x_s^k=N(修改p^N),数学。公司。68 (1999), 1283--1297.
C.小型,Waring问题模型阿默尔。数学。《84月刊》(1977),第1期,第12-25页。
R.C.Vaughan和T.D.Woolley,Waring的问题:一项调查《千年数论》,第三卷(伊利诺伊州乌尔班纳,2000年),A K Peters,马萨诸塞州纳蒂克,2002年,第301-340页。
例子
a(3)<=4表示每个整数环modm的每个元素都可以写成4个(或更少)立方体的和。a(3)>=4,因为在Z/9Z中,立方体是{0,1,8},所以4不是Z/9Z任何三个立方体的和。因此a(3)=4。
交叉参考
囊性纤维变性。A079611号,A174406号,A040004号.
关键词
非n
作者
大卫·科弗特2017年5月22日
扩展
编辑人安德烈·扎博洛茨基2017年6月10日
状态
经核准的
A040004号 a(n)=最小整数s,这样对于所有i,所有素数p和所有m都是同余(x_1)^n+…+(x_s)^n==m(mod p^i)有一个本原解。 +10
1
1, 4, 4, 16, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
原解是一种解,其中并非所有x_i都是0(mod p)。
这个量通常用伽马(n)表示。
A287286号仅在n=4时不同:由于任何四次幂等于0或1(mod 16),并且至少需要一个奇数四次幂,因此需要16个奇数4次幂,因为0(mod十六),但如果允许所有偶数幂,15就足够了。
参考文献
G.H.Hardy和J.E.Littlewood,“数值部分”的一些问题,第四卷,数学。宙特。,12 (1922), 161-168. [G.H.Hardy,《论文集》,第1-卷,牛津大学出版社,1966-;见第1卷,第466页。]
链接
Sekigawa Hiroshi和Koyama Kenji,同余x_1^k+…+解的不存在条件x_s^k=N(修改p^N),数学。公司。68 (1999), 1283-1297.
配方奶粉
对于k>2:
如果k=2^t,t>1,则a(k)=4*k=2^(t+2);
如果k=3*2^t,t>1,则a(k)=2^(t+2);
如果k=p^t*(p-1),其中p是奇素数且t>0,则a(k)=p^(t+1);
如果k=p^t*(p-1)/2,则a(k)=(p^(t+1)-1)/2,除非k=p=3;
否则,如果k=p-1,则a(k)=k+1=p;
否则,如果k=(p-1)/2,则a(k)=k=(p-1)/2;
在其他情况下,3<a(k)<=k。
交叉参考
囊性纤维变性。A079611号,A174406号,A287286号.
关键词
非n
作者
西蒙·普劳夫,1998年8月1日
扩展
Sekigawa&Koyama论文中的更多术语和一(30)项由安德烈·扎博洛茨基,2017年5月31日
编辑人安德烈·扎博洛茨基2017年6月10日
状态
经核准的
第页1

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