搜索： a076871-编号：a07687.1
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A001694年
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| 幂数，定义（1）：如果素数p除以n，那么p^2也必须除以n（也称为平方、平方满、平方满或2幂数）。
（原名M3325 N1335）
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347
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1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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形式a^2*b^3的数字，a>=1，b>=1。
换句话说，如果n的素因式分解是Product_k p_k^e_k，那么所有e_k都大于1。
以k=0开头的小于或等于10^k的项数：1，4，14，54，185，619，2027，6553，21044，…：A118896号. -罗伯特·威尔逊v2014年8月11日
a（10^n）：1，49，3136，253472，23002083，2200079025，215523459072，21348015504200，2125390162618116-罗伯特·威尔逊v2014年8月15日
对于某些有限非交换环R，数字m是强大的当且仅当|R/Z（R）|=m。
对于某些有限幂零类二群G（参考Aine-Nishe），数字m是强大的当且仅当|G/Z（G）|=m。（结束）
对n进行编号，使之和{k=1..n}phi（gcd（n，k））*mu（gcd（n，k））>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日
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参考文献
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G.E.Hardy和M.V.Subbarao，《强大的数字》，国会。数字。37 (1983), 277-307.
Aleksandar Ivić，《黎曼-泽塔函数》，纽约州威利市，1985年，见第407页。
理查德·莫林（Richard A.Mollin），《象限》，CRC出版社，1996年，第1.6节。
Aine NiShe，有限群中的交换性和泛化，博士论文，科克大学学院，2000年。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim）、梅恩·扎伦（Meine Zahlen）和梅恩·弗伦德（Meine Freunde），2009年，施普林格（Springer），《波坦特·扎伦》（Potente Zahlene）9.1，第241-247页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Gérald Tenenbaum，《分析和概率数论导论》，剑桥大学出版社，1995年，第54页，练习10（2015年第三版，第63页，练习70）。
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链接
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何振聪，幂数中的算术级数，国际期刊。，第26卷（2023年），第23.1.1条。
J.-M.de Konink、N.Doyon和F.Luca，二次多项式的强大值，J.国际顺序。14（2011），第11.3.3条。
S.W.Golomb，强大的数字阿默尔。数学。月刊，第77卷（1970），848-852。
V.Shevelev，S指数《算术学报》，第175卷（2016年），第385-395页。
D.Suryanarayana和R.Sita Rama Chandra Rao，平方-完整整数的分布《方舟材料》，第11卷，第1-2号（1973年），195-201年。
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配方奶粉
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贝特曼和格罗斯瓦尔德证明了在x之前存在zeta（3/2）/zeta（3）x^{1/2}+zeta（2/3）/zetax^{1/3}+O（x^{1/16}）项；有关更精确的误差项，请参阅第5节-查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月19日
和{n>=1}1/a（n）=zeta（2）*zeta（3）/zeta（6）-伊凡·内雷廷2015年8月30日
和{n>=1}1/a（n）^s=zeta（2*s）*zeta（3*s）/zeta（6*s），s>1/2（Golomb，1970）-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月2日
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例子
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1是一个术语，因为对于每个素数p除以1，p^2也除以1。
2不是一个术语，因为2除以2，但2^2不是。
4是一个项，因为2是唯一除4的素数，2^2除4-N.J.A.斯隆2022年1月16日
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MAPLE公司
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isA001694:=ifactors（n）[2]中p的proc（n）do，如果op（2，p）=1，则返回false；结束if；结束do；返回true；结束进程：
A001694号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；对于from procname（n-1）+1 do，如果isA001694（a），则返回a；结束if；结束do；结束if；结束进程：
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数学
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连接[{1}，选择[Range@1250，Min@FactorInteger[#][[All，2]]>1&]]
最大值=10^3；并集@Flatten@表[a^2*b^3，{b，max^（1/3）}，{a，Sqrt[max/b^3]}](*罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
nextPowerfulNumber[n_]：=块[{r=Range[Floor[1+n^（1/3）]]^3}，最小@选择[Sort[r*Floor[1+Sqrt[n/r]]^2]，#>n&]]；嵌套列表[nextPowerfulNumber，1，55](*罗伯特·威尔逊v2014年8月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A001694（n）=n=系数（n）[，2]；对于（i=1，#n，如果（n[i]==1，返回（0））；1 \\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月11日
（PARI）列表（lim，mn=2）=我的（v=列表（），t）；对于（m=1，sqrtnint（lim\1,3），t=m^3；对于（n=1，平方（lim\t），列表输入（v，t*n^2））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月31日；编辑：2015年9月22日
（哈斯克尔）
a001694 n=a001694_列表！！（n-1）
a001694_list=过滤器（（==1）。a112526）[1..]
（Python）
来自sympy导入因子
A001694号=[1]+[n代表范围（2，10**6）中的n，如果min（factorint（n）.values（））>1]
（圣人）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007532号（强大的数字，定义（2）），A005934号,A005188号,A003321号,A014576号,A023052号（强大的数字，定义（3）），A046074号,A013929号,A076871号,A258599型,A001248号,A112526号,A168363号,A224866号,21883元,A300717型.
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 4, 6, 7, 11, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 27, 30, 38, 39, 42, 46, 47, 49, 51, 55, 56, 60, 62, 66, 67, 69, 70, 71, 75, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87, 92, 93, 94, 95, 102, 103, 105, 107, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 120, 123, 131, 138, 139, 142, 143, 147, 151, 154
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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数学
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使用[{m=160}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；补码[Range[m]，选择[Union[Plus@@@Tuples[pow，{2}]]，#<=m&]]](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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例子
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数学
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使用[{m=120}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；BinCounts[选择[Plus@@@Union[排序/@Tuples[pow，{2}]]，#<=m&]，{1，m，1}]](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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2, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 20, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 43, 44, 45, 48, 53, 54, 58, 59, 61, 63, 64, 74, 82, 88, 90, 91, 96, 98, 99, 100, 101, 106, 112, 121, 122, 124, 126, 127, 128, 134, 135, 140, 141, 146, 149, 150, 155, 161, 162, 169, 171
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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数学
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使用[{m=180}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；位置[BinCounts[Select[Plus@@@Union[Sort/@Tuples[pow，{2}]]，#<=m&]，{1，m，1}]，1]//Flatten](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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17, 33, 36, 40, 41, 50, 52, 57, 65, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 85, 89, 97, 104, 108, 109, 113, 116, 117, 125, 129, 130, 132, 133, 136, 137, 144, 145, 148, 152, 153, 157, 160, 164, 170, 172, 177, 180, 185, 189, 193, 197, 200, 201, 204, 205, 208, 209, 216, 221
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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配方奶粉
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数学
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使用[{m=222}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；位置[BinCounts[Select[Plus@@@Union[Sort/@Tuples[pow，{2}]]，#<=m&]，{1，m，1}]，_？（#>1&）]//压扁](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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评论
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莫林和沃尔什推测没有更多的术语了。
Heath-Brown证明了序列是有限的。
其他条件不得低于40000000保罗。Jobling（AT）WhiteCross.com，2001年5月14日
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参考文献
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Heath-Brown，D.R.，《三元二次型和三个平方-满数之和》，摘自巴黎诺姆理论研究所，1986-87年（编辑：C.Goldstein）。马萨诸塞州波士顿：Birkhauser，第137-1631988页。
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链接
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R.A.Mollin和P.G.Walsh，关于幂数，实习生。数学杂志。和数学。科学，9:801-8061986。
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例子
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最小的有效数字是1、4、8、9、16、25，。。。因此，7、15和23不是其中一个、两个或三个的总和。
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交叉参考
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关键词
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完成,非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 35, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 43, 44, 44
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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参考文献
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Aleksandar Ivić，《Riemann Zeta-Function》，纽约州威利，1985年，见第439页。
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链接
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数学
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使用[{m=120}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；累加@BinCounts[选择[并集[Plus@@@Tuples[pow，｛2｝]]，#<=m&]，｛1，m，1｝]](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年2月12日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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21883元
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| 1-2^（-1/3）的十进制展开式。 |
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+10
2
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2, 0, 6, 2, 9, 9, 4, 7, 4, 0, 1, 5, 9, 0, 0, 2, 6, 2, 6, 2, 4, 1, 4, 7, 1, 8, 0, 3, 6, 3, 8, 4, 5, 8, 6, 9, 8, 0, 4, 2, 5, 3, 3, 3, 6, 0, 5, 0, 0, 7, 3, 4, 9, 5, 0, 9, 5, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 0, 8, 7, 3
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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Blomer表明，在x之前有x/log^kx个强大的数，其中k=0.20629947……是这个常数。
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链接
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例子
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0.20629947401590026262414718036384586980425333605007349509585711908739174...
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数学
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第一个@RealDigits[编号[1-2^（-1/3），120](*迈克尔·德弗利格2015年9月4日*）
真实数字[1-1/Surd[2，3]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2023年12月5日*）
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黄体脂酮素
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（平价）1-2^（-1/3）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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8, 12, 13, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 50, 52, 53, 54, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 76, 80, 81, 85, 88, 89, 90, 91, 96, 97, 98, 99, 100, 104, 106, 108, 109, 112, 113, 116, 117, 121, 124, 125, 127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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例子
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8 = 4 + 4, 12 = 4 + 8, 13 = 4 + 9.
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黄体脂酮素
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（PARI）为P（n）={
n> 3&&vecmin（因子（n）[，2]）>1
};
集合（a，b）={
my（c=向量（a*b））；
对于（i=1，#a，
对于（j=1，#b，
c[（i-1）*#b+j]=a[i]+b[j]
)
);
向量排序（c，8）
};
小于等于（lim）={
my（v=选择（isP，向量（floor（lim），i，i））；
选择（n->n<=lim，和集（v，v））
};
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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8, 9, 16, 25, 32, 36, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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Browning&Valckenborgh猜想a（n）~kn^2，k约为0.139485255。见他们的猜想1和方程式（14）。他们的定理1和2建立了上下渐近界。
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链接
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Tim D.Browning和K.Van Valckenborgh，三个平方数之和《实验数学》，第21卷，第2期（2012年），第204-211页；arXiv预印本，arXiv:1106.4472[math.NT]，2011年。
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配方奶粉
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数学
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使用[{m=1225}，pow=Select[Range[m]，#==1||Min[FactorInteger[#][[；；，2]]>1&]；交集[pow，Plus@@@Tuples[pov，{2}]](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年2月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）强大（n）=如果（n>3，vecmin（因子（n）[，2]）>1，n==1）
集合（a，b）={
my（c=向量小（#a*#b））；
对于（i=1，#a，
对于（j=1，#b，
c[（i-1）*#b+j]=a[i]+b[j]
)
);
向量排序（c，8）
}; 自和（a）={
my（c=向量小（二项式（a+1，2）），k）；
对于（i=1，#a，
对于（j=i，#a，
c[k++]=a[i]+a[j]
)
);
向量排序（c，8）
};
列表（lim）={
my（v=选择（isPowerful，向量（floor（lim），i，i））；
选择（n->n<=lim&&isPowerful（n），Vec（selfsum（v）））
};
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001694号,A007532号,A005934号,A005188号,A003321号,A014576号,A023052美元,A046074号,A013929号,A076871号,A143813号. -乔纳森·沃斯邮报2011年7月10日
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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