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心电图序列(或心电图序列):a(1)=1;a(2)=2;对于n>2,a(n)=与a(n-1)共用一个因子的尚未使用的最小数。
+10 345
1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20, 22, 11, 33, 27, 30, 25, 35, 28, 26, 13, 39, 36, 32, 34, 17, 51, 42, 38, 19, 57, 45, 40, 44, 46, 23, 69, 48, 50, 52, 54, 56, 49, 63, 60, 55, 65, 70, 58, 29, 87, 66, 62, 31, 93, 72, 64, 68, 74, 37, 111, 75, 78, 76, 80, 82
评论
从局部来看,该图类似于心电图(美国英语)或心电图(英国英语)。
定理:(1)每个数字只出现一次:这是正数的排列J.C.Lagarias、E.M.Rains、,N.J.A.斯隆2001年10月3日
置换具有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
定理:(2)素数以递增顺序出现J.C.Lagarias、E.M.Rains、,N.J.A.斯隆,2001年10月3日
定理:(3)当一个奇素数p出现时,它的前面紧跟着2p,后面紧跟着3pLagarias-Rains-Sloane推测,Hofman-Pilipczuk证明。
定理:(4)设a'(n)是同一序列,但所有项p和3p(p素数)都变为2p(参见A256417型). 那么lima’(n)/n=1,即a(n)~n,除了p素数的p和3pLagarias-Rains-Sloane推测,Hofman-Pilipczuk证明。
猜想:如果a(n)!=p、 然后几乎处处a(n)>n-托马斯·奥多夫斯基2009年1月23日
猜想:lim#(a_n>n)/n=1,即#(a_n>n)~n-托马斯·奥多夫斯基2009年1月23日
猜想:一个词p^2,p是一个素数,前面紧跟着p*(p+1),后面紧跟着p*(p+2)-弗拉基米尔波罗的海2001年10月3日。这是错误的,例如序列中包含p=157的3个术语p*(p+2)、p^2、p*(p+3)埃里克·兰斯
定理:如果a(k)=3p,则|{a(m):a(m>k)<3p}|=3p-k。证明:如果a-托马斯·奥多夫斯基2009年1月22日
让。。。,a_i,。。。,2p、p、3p,。。。,a_j,。。。不存在a_i>3p。不存在a_j<p-托马斯·奥多夫斯基2009年1月20日
让。。。,a、 ,。。。,2p、p、3p,。。。,b、 ,。。。所有a<3p和b>p.#(a>2p)<=#(b<2p)-托马斯·奥多夫斯基2009年1月21日
如果a(k)=3p,则|{a(m):a(m>k)<3p}|=3p-k-托马斯·奥多夫斯基2009年1月22日
如果定义被更改为要求连续项的GCD为素数幂>1,则序列保持不变,直到a(578)=620,此时a(579)=610与前一项的GCD=10-N.J.A.斯隆2015年3月30日
对于素数p>2,我们有链{j:2|j}->2p->p->3p->{k:3|k}。引入2p的项j必须是偶数,因为2p是由Hofman-Pilipczuk证明的引入p本身的偶数无平方半素数。因此,在i<n-1的序列中不存在这样的项a(i),即p|a(i。对于链{4,6,3,9,12},3p后面的12确实是4p,但p=3;这是序列中4p紧跟3p的唯一情况。因此对于i>1,A073734号(A064955号(i) -1)=2和A073734号(A064955号(i) +2)=3。
对于费马素数p,我们有链{j:2|j}->2^e->{2p=2^e+2}->{p=2^(e-1)+1}->3p->{k:3|k}。
a(3)=4=2^2,a(5)=3=2^1+1;
a(8)=8=2^3,a(10)=5=2^2+1;
a(31)=32=2^5,a(33)=17=2^4+1;
a(485)=512=2^9,a(487)=257=2^8+1;
a(127354)=131072=2^17,a(12735)=65537=2^16+1。
(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《七个错开的序列》,《向一个花脸拼图机致敬》,E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers(编辑),A.K.Peters、Wellesley,马萨诸塞州,2009年,第93-110页。
链接
David L.Applegate、Hans Havermann、Bob Selcoe、Vladimir Shevelev、N.J.A.Sloane和Reinhard Zumkeller,黄石公园排列,arXiv预印本arXiv:1501.01669[math.NT],2015和J.国际顺序。18 (2015) 15.6.7.
迈克尔·德弗利格,a(n)的注释图当n=1.120时,素p用红色表示,2p用蓝色表示,3p用绿色表示,其他项用灰色表示。
迈克尔·德弗利格,a(n)的部分注释对数散点图对于n=1..1024,素数p用红色表示,2p用蓝色表示,3p用绿色表示,其他项用灰色表示。该图显示了三条准线性条纹,最密集的条纹包含2p和序列中前十几个左右项之外的所有“灰色”项。
彼得·霍夫曼(Piotr Hofman)和马金·皮利普祖克(Marcin Pilipczuk),关于心电图序列的一些新事实,J.整数序列。,11(2008),第08.4.2条。
詹姆斯·基纳,心电图数学[指医院中发现的心电图,包括用于比较。]
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,arXiv:math/0204011[math.NT],2002年。
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,专家。数学。11 (2002), 437-446.
配方奶粉
a(n)=尚未使用的最小数,使得gcd(a(n,a(n-1))>1。
在Lagarias-Rains-Sloane(2002)中,假设几乎所有a(n)都满足渐近公式a(n)=n(1+1/(3logn))+o(n/logn)作为n->oo,并且当序列是素数或素数p的3倍时,例外项在序列中产生尖峰。有关猜测的更精确陈述,请参阅论文-N.J.A.斯隆2015年3月7日
例子
a(2)=2,a(3)=4(gcd(2,4)=2),a(4)=6。
MAPLE公司
h:=阵列(1..20000);a:=阵列(1..10000);最大值:=300;最大值:=2*最大值;对于从1到maxn的n,doh[n]:=-1;od:a[1]:=2;h[2]:=1;c:=2;对于n从2到maxa do,对于m从2到maxn do t1:=gcd(m,c);如果t1>1且h[m]=-1,则c:=m;a[n]:=c;h[c]:=n;断裂;fi;od:od:ap:=[]:对于从1到maxa的n,执行ap:=[操作(ap),a[n]];od:hp:=[]:对于从2到maxa的n,做hp:=[操作(hp),h[n]];od:转换(ap,list);转换(hp,列表);#这太粗鲁了!
N: =1000:#在第一个项之前获得项>N
五: =矢量(N):
A[1]:=1:
A[2]:=2:V[2]:=1:
对于n,从3 do
S: ={seq(seq(k*p,k=1..N/p),p=numtheory:-因子集(A[N-1]))};
对于排序中的s(convert(s,list))do
如果V[s]=0,则
A[n]:=秒;
打破
fi(菲涅耳)
od;
如果V[s]=1,则打破fi;
V[s]:=1;
日期:
数学
最大N=100;心电图={1,2};未使用=范围[3,maxN];发现=真;While[found,found=False;i=0;While[!found&&i<Length[unused],i++;如果[GCD[ekg[[-1]],未使用的[[i]]>1,则发现=True;附加到[ekg,未使用的[[i]]];unused=删除[unused,i]]];ekg(*艾尔斯*)
ekGrapher[s_List]:=块[{m=s[[-1]],k=3},而[MemberQ[s,k]||GCD[m,k]==1,k++];追加[s,k]];嵌套[ekGrapher,{1,2},71](*罗伯特·威尔逊v2009年5月20日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
导入数据。列表(删除,genericIndex)
a064413 n=通用索引a064413_列表(n-1)
a064413_list=1:f 2[2..]其中
ekg x zs=f zs,其中
f(y:ys)=如果gcd x y>1,则y:ekg y(删除y zs)else f ys
(PARI)
a1=1;a2=2;v=[1,2];
对于(n=3100,a3=if(n<0,0,t=1;while(vecmin(向量(长度(v),i,abs(v[i]-t)))*(gcd(a2,t)-1)==0,t++);t) ;a2=a3;v=连接(v,a3););
a(n)=v[n];
(Python)
从分数导入gcd
对于范围(10**5)内的_:
….i=秒
….为真时:
……..如果b中没有i并且gcd(i,l)>1:
………….l,b[i]=i,正确
当s在b:
………….b.pop(s)
………….s+=1
…………中断
作者
乔纳森·艾尔斯(Jonathan.Ayres(AT)btinternet.com),2001年9月30日
1, 2, 5, 3, 10, 4, 14, 8, 6, 9, 20, 7, 28, 13, 11, 17, 33, 12, 37, 18, 15, 19, 43, 16, 24, 27, 22, 26, 57, 23, 61, 31, 21, 32, 25, 30, 67, 36, 29, 40, 74, 35, 81, 41, 39, 42, 89, 45, 50, 46, 34, 47, 100, 48, 53, 49, 38, 56, 107, 52, 115, 60, 51, 64, 54, 59, 128, 65, 44, 55
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,专家。数学。11 (2002), 437-446;arXiv预印本,arXiv:math/0204011[math.NT],2002年。
例子
原始置换具有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
数学
最大N=200;lst={1,2};未使用=范围[3,maxN];发现=真;While[found,found=False;i=0;While[!found&&i<Length[unused],i++;如果[GCD[lst[[-1]],未使用的[[i]]>1,则发现=True;附加到[lst,未使用的[[i]]];unused=删除[unused,i]]];接受[订购[lst],未使用的[[1]]-1]
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
导入数据。列表(elemIndex);导入数据。也许(来自Just)
a064664=(+1)。来自Just。(`elemIndex`a064413_list)
谨致问候A064413号给出正整数的置换;序列给出了第一个无限循环,从其最小项7开始。
+10 7
7, 12, 18, 20, 11, 15, 21, 33, 17, 16, 24, 25, 35, 42, 46, 50, 49, 56, 58, 87, 92, 98, 108, 177, 188, 202, 214, 228, 250, 265, 417, 441, 468, 507, 540, 281, 297, 157, 170, 182, 97, 105, 116, 183, 291, 323, 340, 355, 385, 400, 422, 450, 469, 495, 528
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,arXiv:math/0204011[math.NT],2002;专家。数学。11 (2002), 437-446.
例子
置换有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
谨致问候A064413号给出正整数的置换;序列给出了第二个无限循环,从最小项73开始向后读取。
+10 5
73, 138, 131, 253, 248, 234, 219, 139, 264, 247, 242, 229, 438, 413, 397, 756, 716, 679, 647, 1242, 1184, 1130, 1076, 1027, 993, 630, 594, 564, 537, 337, 639, 608, 576, 547, 1041, 656, 626, 598, 569, 1080, 1023, 948, 904, 871, 844, 805, 772, 733
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,专家。数学。11 (2002), 437-446.
例子
置换有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
谨致问候A064413号给出正整数的置换;序列给出了第一个无限循环,从其最小项7开始向后读取。
+10 三
7, 14, 13, 28, 26, 27, 22, 19, 37, 67, 128, 122, 114, 102, 95, 85, 84, 77, 78, 70, 55, 53, 100, 86, 80, 72, 63, 51, 34, 32, 31, 61, 115, 111, 68, 65, 54, 48, 45, 39, 29, 57, 38, 36, 30, 23, 43, 81, 76, 71, 134, 127, 236, 224, 195, 172, 164, 158, 150, 141, 90
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,arXiv:math/0204011[math.NT],2002;专家。数学。11 (2002), 437-446.
例子
置换有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
谨致问候A064413号给出正整数的置换;序列给出了第二个无限循环,从其最小项73开始。
+10 三
73, 82, 129, 201, 212, 220, 221, 238, 255, 276, 308, 319, 343, 362, 382, 597, 640, 1011, 1055, 1116, 1172, 1235, 1292, 1360, 1422, 1491, 1562, 1640, 1719, 1800, 1900, 2973, 3102, 3234, 3400, 3538, 3731, 3886, 4045, 4216, 4390, 4570, 4755
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,专家。数学。11 (2002), 437-446.
例子
置换有循环(1)(2)(3,4,6,9,10,5)(…,20,18,12,7,14,13,28,26,…)(8)。。。
1, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 12, 11, 25, 8, 22, 11
链接
J.C.Lagarias、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,心电图序列,专家。数学。11 (2002), 437-446.
1, 2, 3, 8, 40, 64, 121, 149, 359, 2879, 5563, 28571, 251677
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