A359914-OEIS公司

A359914型

a（n）=a（x）中x^n的系数，其中2=Sum_{n=-oo..+oo}（-1）^n*x^（n*（3*n-1）/2）*a（x，3*n）*（1+x^n*a（x））。

1, 2, 4, 30, 154, 1078, 7046, 50766, 364268, 2713444, 20384884, 155954760, 1204192106, 9400024042, 73945396990, 586088682472, 4673927031694, 37484566094970, 302098932029282, 2445538771089012, 19875632898821430, 162118004651048048, 1326658157736876148

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

猜想：a（n）/2==A000041号（n）（mod 2）对于n>=1；也就是说，当n>=1时，a（n）是偶数，a（n）/2与n的分区数具有相同的奇偶性。

猜想：a（n）==A361552型当n>=0时，为（n+1）（mod 4）-保罗·D·汉纳2023年3月19日

链接

保罗·D·汉纳，n=0..400时的n，a（n）表

埃里克·魏斯坦的数学世界，五元组产品标识.

配方奶粉

G.f.A（x）=Sum_{n>=1}A（n）*x^n满足以下条件。

（1） 2=和{n=-oo..+oo}（-1）^n*x^（n*（3*n-1）/2）*A（x）^（3*n）*（1+x^n*A（x））。

（2） 2=产品{n>=1}（1-x^n）*（1+x^（n-1）*A（x））*（1+x^n/A（x）。

a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=8.76250510839142770669887…和c=0.25785454119524349137288-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年1月24日

公式（2）可以改写为函数方程QPochhammer（x）*QPochharmer（-y/x，x）/（1+y/x）*Q赭锤（-1/y，x）／（1+1/y）*QP赭锤-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月19日

例子

通用公式：A（x）=1+2*x+4*x^2+30*x^3+154*x^4+1078*x^5+7046*x^6+50766*x^7+364268*x*x^8+2713444*x^9+20384884*x^10+。。。

其中A=A（x）满足双无穷和

2 = ... + x^26/A^12*（1+1/x^4*A）-x^15/A^9*（1+1/x^3*A）+x^7/A^6*A）+x^22*A^12*（1+x^4*A）+…+（-1）^n*x^（n*（3*n+1）/2）*A^（3*n）*（1+x^n*A）+。。。

此外，根据沃森的五倍产品身份，

2=（1-x）*（1+1*A）*（1+x/A）*（1-x*A^2）*3*A）*（1+x^4/A）*。。。

特定值。

A（x）在x=100/876处发散。

A（100/877）=1.55705675124068970380867667963285879403994350720494。。。

A（1/9）=1.45019145620995107571253359997937360795442585014595870。。。

A（1/10）=1.324252801492679846737365280925526932201317768972870665。。。

数学

（*常数d的计算：*）1/r/。FindRoot[{r^3*s^3*QPochhammer[r]*QPochammer[1/（r*s^2），r^2]*QPohchammer[-1/s，r]*Q赭锤[-s/r，r]*赭锤[s^2/r，r^2]/（（1+s）*r*（1+r）*s^5+3*r*s^6）*Log[r]+（1+s）*，r]+QPolyGamma[0，-1/2-对数[s]/Log[r]，r^2]-QPoly伽玛[0，-1-2+对数[s]/对数[r](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月19日*）

黄体脂酮素

（PARI）/*使用双无穷级数*/

{a（n）=my（a=[1]）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；

A[#A]=极坐标（2-和（m=-#A，#A，（-1）^m*x^（m*（3*m-1）/2）*Ser（A）^（3*m）*（1+x^m*Ser；A[n+1]}

对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）

（PARI）/*使用五倍产品*/

{a（n）=my（a=[1]）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；

A[#A]=极坐标（2-探针（m=1，#A，（1-x^m）*（1+x^（m-1）*Ser（A））*（1+x^m/Ser（A））*；A[n+1]}

对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）

交叉参考