|
| |
|
| A284855型 |
| 反对偶读取的数组：T（n，k）=有n个珠子和k个颜色的项链的数量，翻转时相同。 |
|
11
|
|
|
|
1, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 6, 4, 1, 5, 10, 9, 6, 1, 6, 15, 16, 18, 8, 1, 7, 21, 25, 40, 27, 12, 1, 8, 28, 36, 75, 64, 54, 16, 1, 9, 36, 49, 126, 125, 160, 81, 24, 1, 10, 45, 64, 196, 216, 375, 256, 162, 32, 1, 11, 55, 81, 288, 343, 756, 625, 640, 243, 48, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
使用最多k个不同符号的长度为n的周期回文数。
根据克里斯汀·鲍尔的变换理论，我们有不同大小和颜色的盒子。盒子的大小取决于它能容纳的球的数量。在这种情况下，我们假设所有球都是相同的，并且没有标记。假设一个有m个球的盒子可能具有的颜色数由c（m）给出。我们把盒子放在一个圆上，彼此之间的距离相等。如果一个盒子可以通过旋转从另一个盒子中获得，那么圆上盒子的两种配置被认为是等效的。我们对圆形回文盒子的圆形配置感兴趣（即，项链上的盒子翻转时是相同的）。设b（n）是一个圆上盒子的循环回文构型的个数，当盒子中的球总数为n时（每个盒子至少包含一个球）。
Bower调用序列（b（n）：n>=1），即输入序列（c（m）：m>=1的CPAL（“循环回文”）转换。如果输入序列（c（m）：m>=1）的g.f.是c（x）=Sum_{m>=1}c（m。
在当前序列中，每个框只能容纳一个球，但可以有k种颜色中的一种。因此，对于m>=2，c（1）=k，但c（m）=0。因此，C（x）=k*x。然后，对于固定的k，输出序列为（b（n）：n>=1）=（T（n，k）：n>=1），其中T（n、k）=n个珠子和k个颜色相同的项链数量。如果我们设B_k（x）=Sum_{n>=1}T（n，k）*x^n，那么B_k（x）=（1+k*x）^2/（2*（1-k*x^2））-1/2。由此，我们可以很容易地证明以下公式。
请注意，T（n，k=2）-1是n的Sommerville对称循环成分的总数。参见下面链接中他的论文第301-304页。为了了解为什么会出现这种情况，我们使用MacMahon的方法，用两种颜色的项链来表示n的循环组成（参见Sommerville论文第273页，其中两种“颜色”是一个x和一个点，而不是B和W）。给定Sommerville对称成分b_1+…+b_r of n（b_i>=1代表所有i，1<=r<=n），用2种颜色的n个珠子创建以下循环回文项链：从圆上的某个位置开始，将b_1-1 W珠子放在它的右侧；将B珠子放置在W珠子（如果有）的右侧，然后放置B_2-1 W珠子；最后，放置一个B珠子，然后放置B_r-1 W珠子。（如果某些i的b_i=1，那么b珠子跟随b珠子，因为它们之间有0个W珠子。）因此，我们得到了一条带有两种颜色的n个珠子的圆形回文项链。（我们用这种方法唯一买不到的项链是n颗珠子都是W色的。）
有趣的是，长度为n的项链的表示形式，例如s_1、s_2。。。，正如马克斯·内斯特（Marks R.Nester）在其1999年的博士论文第2章中所做的那样，s_n作为一个周期序列（…，s_{-2}，s_}-1}，s_0，s_1，s_2，…），其性质为s_i=s_{i+n}，被索默维尔（Sommerville）在其1909年的论文（在其论文的第一段）中考虑。（结束）
|
|
|
参考文献
|
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第二章的pdf文件]
|
|
|
链接
|
Petros Hadjicostas，广义有色圆形回文组合《莫斯科组合数学与数论杂志》，9（2）（2020），173-186。
|
|
|
公式
|
T（2*n，k）=（k^（n+1）+k^n）/2。
T（2*n+1，k）=k^（n+1）。
对于固定k>=1，第k列（T（n，k）：n>=1）是序列k，0，0，…的CPAL（“循环回文”）变换。。。
k列的G.f:Sum_{n>=1}T（n，k）*x^n=（1+k*x）^2/（2*（1-k*x^2））-1/2。（结束）
|
|
|
例子
|
表格开始：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ...
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...
1 6 18 40 75 126 196 288 405 550 ...
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 ...
1 12 54 160 375 756 1372 2304 3645 5500 ...
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 ...
1 24 162 640 1875 4536 9604 18432 32805 55000 ...
1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 ...
1 48 486 2560 9375 27216 67228 147456 295245 550000 ...
...
对于n=4和k=2，回文项链是0000，0001，0011，0111，0101，1111，所以T（4,2）=6。项链只计算为循环当量。
对于n=4和k=2，使用MacMahon双射，在B=0和W=1的情况下，n=4的相应Sommerville对称循环成分如下：1+1+1+1，1+1+2，1+3，4，2+2（1111没有）。如果我们让B=1和W=0，我们得到了相应的对称循环组成n=4：（无代表0000）4，1+3，1+1+2，2+2，1+1+1+1。（所有这些循环组合都必须在一个圆上查看。）-Petros Hadjicostas公司2018年9月2日
|
|
|
数学
|
a[n_，k_]：=如果[EvenQ[n]，（k^（n/2）+k^；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
a（n，k）=如果（n%2==0，（k^（n/2）+k^；
对于（n=1,10，对于（k=1,10，打印1（a（n，k），“，”）；）；打印（）；）；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
