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评论
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猜想:(i)a(n)>0表示所有n>0,而a(n)=1仅表示n=3,7,15,47,71,379,4^k(k=0,1,2,…)。
(ii)如果a、b和c是正整数,且a<=b<=c,gcd(a,b,c)无平方,且三元组(a、b、c)不等于(1,2,2),则并非所有自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2,其中w、x、y、z是非负整数,而a*w*x+b*x*y+c*y*z是平方。
(iii)设a、b、c是gcd(a、b和c)无平方的正整数。然后每n=0,1,2,。。。可以用w,x,y,z非负整数写成w^2+x^2+y^2+z^2,例如a*x*y+b*y*z+c*z*x是一个正方形,当且仅当{a,b,c}位于{1,2,3},{1,3,8},}1,8,13}、{2,4,45},[4,5,7},[24,7,23},5,8,9},[11,16,31}之间。
显然,这个猜想的(i)部分比拉格朗日的四方形定理更强。
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例子
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a(1)=1,因为1=1 ^2+0 ^2+0^2+0^2+0 ^2,1*0+2*0*0+2*0*0=0 ^2。
a(3)=1,因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2带有1*1+2*1*0+2*0*1=1^2。
a(7)=1,因为7=1^2+1^2+2^2+1 ^2,1*1+2*1*2+2*2*1=3^2。
a(11)=2,因为11=1^2+1^2+0^2+3^2,其中1*1+2*1*0+2*0*3=1^2,11=1^2+3^2+1 ^2+0 ^2,中1*3+2*3*1+2*1*1*0=3^2。
a(12)=2,因为12=1^2+1^2+1 ^2+3^2,其中1*1+2*1*1+2*1*3=3^2,12=2^2+2^2+0^2+2*0*2=2^2。
a(15)=1,因为15=3^2+1^2+1 ^2+2^2,其中3*1+2*1+2*1*2=3^2。
a(47)=1,因为47=1^2+1^2+6^2+3^2,1*1+2*1*6+2*6*3=7^2。
a(71)=1,因为71=3^2+3^2+2^2+7^2,其中3*3+2*3*2+2*7=7^2。
a(379)=1,因为379=3^2+3^2+0^2+19^2,其中3*3+2*3*0+2*0*19=3^2。
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