A208853-OEIS公司

A208853型

当用SW-NE对角线读取时，原始毕达哥拉斯三角形的斜边数组。

三

5, 13, 17, 29, 25, 37, 53, 41, 0, 65, 85, 65, 61, 73, 101, 125, 97, 85, 89, 109, 145, 173, 137, 0, 113, 0, 0, 197, 229, 185, 157, 145, 149, 169, 205, 257, 293, 241, 205, 185, 181, 193, 221, 265, 325, 365, 305, 0, 233, 221, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

所有具有奇数、偶数和奇数的原始毕达哥拉斯三元组（a，b，c）（见链接）都由c=u^2+v^2给出，其中u奇数、u=2*n+1、n>=1、v偶数、v=2*m、m>=1和gcd（u，v）=1。如果gcd（2*n-1,2*m）=1，否则为0，则当前数组为c=c（n，m）=（2*n-1）^2+（2*m”^2。由SW-NE对角线读取的相应三角形为T（n，m）：=c（n-m+1，m）。0条目表示对于这些n，m值只有非基元三元组。关于此类非本原三角形的比例因子g=gcd（u，v）^2，请参见示例部分。

有关日益有序的c值，请参见A008846号（具有多重性，请参见A020882美元).

所有原始毕达哥拉斯三元组都由下式给出

（a（n，m）=A208854型（n，m），b（n，m）=A208855型（n，m），c（n，m）），n>=1，m>=1。如果这是（0,0,0），则这些n，m值不存在原始三元组。请参阅示例部分。

在c（n，m）（奇数）的素因式分解中，所有素因子都是4*k+1型（参见A002144号). 参见Niven-Zuckerman-Montgomery参考文献，定理3.20，第164页。关于正整数作为两个平方和的一般表示，见Fermat的定理2.15，第55页。例如：c（5,2）=85=5*17。c=5*7^2=245有一个非本原解7^2*（1^2+2^2）=7^2*c（1,1），因此在这个数组中c（4,7）=0。

带有偶数cathetus（b）和斜边（c）的三元组相差1个单位为（2*k+1，4*T（k），4*T（k）+1），k>=1，带有三角形数A000217号c值如所示A001844号例如，（n，m）=（1,1），k=1。(3,4,5); （n，m）=（2,1），k=2，（5,12,13）；（n，m）=（2,2），k=3，（7,24,25）。请参阅表格的示例部分。

带有奇数cathetus（a）和斜边差2个单位的三元组是（4*k^2-1，4*k，4*k*2+1），k>=1。这些三元组在(A000466号（k），A008586号（k），A053755号（k））。例如，（n，m）=（1,4），k=4，（63,16,65）。

catheti相差一个长度单位的三元组由以（1,1）开头的（u，v）值的替换规则生成。请参见沃尔夫迪特·朗评论A001653号适用于此规则-沃尔夫迪特·朗2012年3月8日

参考文献

I.Niven、H.S.Zuckerman和H.L.Montgomery，《数字理论导论》，第5版，威利父子公司，纽约，1991年

链接

n=1..51时的n，a（n）表。

罗恩·诺特，毕达哥拉斯三元组和在线计算器.

E.S.Rowland，x^2+y^2=z^2的本原解

迈克尔·索莫斯，原始勾股三元组及相关参数表

埃里克·魏斯坦的数学世界，毕达哥拉斯三元组.

配方奶粉

T（n，m）=c（n-m+1，m），n>=m>=1，其中c（n，m）：=（2*n-1）^2+（2*m）^2，如果gcd（2*n-1，2*m。

例子

三角形T（n，m）：

……米|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

……v|2 4 6 8 10 12 14 16 18 20。。。

n、单位

1, 1 5

2, 3 13 17

3, 5 29 25 37

4, 7 53 41 0 65

5, 9 85 65 61 73 101

6, 11 125 97 85 89 109 145

7, 13 173 137 0 113 0 0 197

8, 15 229 185 157 145 149 169 205 257

9, 17 293 241 205 185 181 193 221 265 325

10,19 365 305 0 233 221 0 0 281 0 401

...

数组c（n，m）：

……米|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

……v|2 4 6 8 10 12 14 16 18 20。。。

n、单位

1, 1 5 17 37 65 101 145 197 257 325 401

2 3 13 25 0 73 109 0 205 265 0 409

3, 5 29 41 61 89 0 169 221 281 349 0

4, 7 53 65 85 113 149 193 0 305 373 449

5, 9 85 97 0 145 181 0 277 337 0 481

6, 11 125 137 157 185 221 265 317 377 445 521

7, 13 173 185 205 233 269 313 365 425 493 569

8, 15 229 241 0 289 0 0 421 481 0 0

9, 17 293 305 325 353 389 433 485 545 613 689

10,19 365 377 397 425 461 505 557 617 685 761

...

------------------------------------------------------------------

三元组数组（a（n，m）=A208854型，b（n，m）=A208855型，c（n，m））：

……m |1 2 3 4。。。

……v|2 4 6 8。。。

n、单位

1, 1 (3,4,5) (15,8,17) (35,12,37) (63,16,65)

2, 3 (5,12,13) (7,24,25) (0,0,0) (55,48,73)

3, 5 (21,20,29) (9,40,41) (11,60,61 (39,80,89)

4, 7 (45,28,53) (33,56,65) (13,84,85) (15,112,113)

5, 9 (77,36,85) (65,72,97) (0,0,0) (17,144,145)

6, 11 (117,44,125) (105,88,137) (85,132,157) (57,176,185)

7, 13 (165,52,173) (153,104,185) (133,156,205) (105,208,233)

8, 15 (221,60,229) (209,120,241) (0,0,0) (161,240,289)

9, 17 (285,68,293) (273,136,305) (253,204,325) (225,272,353)

10,19 (357,76,365) (345,152,377) (325,228,397) (297,304,425)

...

阵列续：

三元组数组（a（n，m）=A208854型，b（n，m）=A208855型，c（n，m））：

……m | 5 6 7 8。。。

……v|10 12 14 16。。。

n、单位

1, 1 (99,20,101) (143,24,145) (195,28,197) (255,32,257)

2 3 (91,60,109) (0,0,0) (187,84,205) (247,96,265)

3, 5 (0,0,0) (119,120,169) (171,140,221) (231,160,281)

4, 7 (51,140,149) (95,168,193) (0,0,0) (207,224,305)

5, 9 (19,180,181) (0,0,0) (115,252,277) (175,288,337)

6, 11 (21,220,221) (23,264,265) (75,308,317) (135,352,377)

7, 13 (69,260,269) (25,312,313) (27,364,365) (87,416,425)

8, 15 (0,0,0) (0,0,0) (29,420,421) (31,480,481)

9, 17 (189,340,389) (145,408,433) (93,476,485) (33,544,545)

10,19 (261,380,461) (217,456,505) (165,532,557) (105,608,617)

...

（0,0,0）表示这些（n，m）值不存在原始毕达哥拉斯三角形。相应的标度三元组为（a，b，c）=g*（a/g，b/g，c/g），对于此类非本原三角形，g=gcd（u，v）^2。例如，c（n，m）=c（5,3）=0，（u，v）=（9,6），g=3^2，（45108117）=3^2*（45/9108/9117/9）=9*（5,12,13）。对于c（n，m）=（2,1），基本三角形（5,12,13）的比例因子在这里是9。

交叉参考

囊性纤维变性。A020882美元,A002144号,A208854型,A208855型.

上下文中的序列：A119321号 0.79万澳元 A113482号*A265889型 A359151型 A191218号

相邻序列：A208850型 A208851型 A208852型*A208854型 A208855型 A208856型

关键词

非n,容易的,表

作者

沃尔夫迪特·朗2012年3月5日

状态

经核准的