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评论
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这个三角形的组合解释如下:
忽略上面三角形的第一列1,并调用由RE(n,k)组成的新三角形的(n,k)项。
因此,“RE(n,k)”三角形的第8行是1 4 3 6 3 4 1 1。
简言之,n的k反转是n的k组合,其周期等价于其反转。
顺序A180171号是行读取的“R(n,k)”三角形,其中R(n、k)是n的k个反转的总数。
则RE(n,k)是n到循环等价的k-反向数。
在循环等价类中:{116611161}{22442242}和{23332332};因为有三个这样的类,所以RE(8,3)=3。
类似地,在A180171号R(8,6)=21,因为8的所有21个6组分都是8的6反面,但它们属于4个循环等价类(代表111113、111122、111212和112112),因此RE(8,5)=4。
RE(n,k)还有另一种(等价)解释,涉及Z_n的k-子集、模n的整数和乘数-1。有关更多详细信息,请参阅下面的McSorley/Schoen文件。
在这种情况下,可以方便地将k子集计数为二面体等价,而不是循环等价。
(结束)
当1<=k<=n时,n的k反面的每个循环等价类都是由Sommerville(1909)引入的“Sommer维尔对称循环组合”。在他的论文第301-304页上,他证明了长度为k的n的这种(等价类)组合的数量正好是T(n,k)=RE(n,k)。
Sommerville对称循环复合的等价类包含至少一个回文复合(类型I),或者如果删除第一部分(类型II),则成为回文复合的复合。只有一部分的作文是两种类型的回文作文。Hadjicostas和Zhang(2017)已经证明,n的k反面的每个等价类恰好包含两种类型I或类型II的成分(除非k | n和所有部分都相同)。
例如,考虑n=8和k=3的情况,其中RE(8,3)=3。正如J.P.McSorley在上面指出的,在循环等价类中,我们有{116611161}{22442242}和{23332332}。第一类包含一种I型组合物(161)和一种II型组合物(611);第二类包含一种I型成分(242)和一种II型成分(422);最后一类包含一种类型I(323)和一种类型II(233)的组合。
当n=6和k=4时,这类4反面货币{1221、2211、2112、1122}包含两种类型I的成分(1221和2112)。
如果A是一组正整数,且1<=k<=n,则RE_A(n,k)是长度为k且部分仅在A中的n的Sommerville对称循环合成的总数(=n的k反面的循环等价类的数量,其中部分仅位于A中)。那么RE_A(n,k)的g.f.是Sum_{n,k>=1}RE_A
顺序922200加元包含为Carlitz的n的Sommerville对称环状组成物的总数(长度为1或长度>=1且组成物在圆上的相邻部分不同的组成物)。
(结束)
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例子
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三角形以如下方式开始(n>=0的行和k>=0的列):
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 1, 1, 1;
1, 1, 2, 1, 1;
1, 1, 2, 2, 1, 1;
1, 1, 3, 2, 3, 1, 1;
1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1;
1, 1, 4, 3, 6, 3, 4, 1, 1;
1, 1, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 1;
。。。
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