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| A104035号 |
| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由T（0,0）=1定义；如果k>0或k<0，T（0，k）=0；T（n，k）=k*T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-1，k+1）。 |
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19
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1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 5, 0, 6, 5, 0, 28, 0, 24, 0, 61, 0, 180, 0, 120, 61, 0, 662, 0, 1320, 0, 720, 0, 1385, 0, 7266, 0, 10920, 0, 5040, 1385, 0, 24568, 0, 83664, 0, 100800, 0, 40320, 0, 50521, 0, 408360, 0, 1023120, 0, 1028160, 0, 362880, 50521, 0, 1326122, 0, 6749040
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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或者，由d^n sec x/dx^n=Q_n（tan x）*sec x定义的多项式Q_n。
在阶乘和Euler（或正割）数之间插值。与Springer编号相关。
在[Verges]中可以找到多项式Q_n（u）作为某些类型的有符号排列的符号变化统计的生成函数的组合解释。有符号置换是一个整数序列（x_1，x_2，…，x_n），例如{|x_1|，|x_2|，…，|x_n|}={1,2，…，n}。它们组成一个群，即2^n*n阶超八面体群=A000165号（n） ，与n维立方体的对称群同构。
让x_1，。。。，xn是有符号置换。将x_0=0与置换的前面相邻，将x_（n+1）=（-1）^n*（n+1，。。。，xn，x（n+1）。然后x_0，x_1，。。。，x_n，x_（n+1）是当x_0<x_1>x_2<。。。x（n+1）。例如，0 3-1 2-4是S（3；0）类型的蛇。
设sc为符号通过蛇变化的次数。。。sc={i，0<=i<=n，x i*x（i+1）<0}。例如，snake 0 3-1 2-4的sc=3。多项式Q_n（u）是S（n；0）：。。。Q_n（u）=sum{snakes in S（n；0）}u^sc。关于n=2和n=3的情况，请参阅下面的示例部分。
生产矩阵
设D=子标记（1，2，3，…）是在第一个子对角线上有指定序列的数组，其他地方为零，设C=转置（D）。这个三角形的生产矩阵是C+D：（C+D）^n的第一行是这个三角形的第n行。D表示导数算子D/dx，C表示作用于基单项式{x^n}n>=0的算子p（x）->x*D/dx（x*p（x））。参见下面的公式（1）。
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1998年第二版，第287页。
S.Mukai，不变量和模简介，剑桥，2003；见第445和469页。
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链接
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M.-P.Grosset和A.P.Veselov，伯努利数和孤子，arXiv:math/0503175[math.GM]，2005年。
M.Josuat-Vergès，蛇的计数和循环交替排列，arXiv:1011.0929[math.CO]，2010年。
Donald E.Knuth和Thomas J.Buckholtz，切线、欧拉和伯努利数的计算，数学。公司。21 1967 663-688.
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配方奶粉
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T（n，n）=n！；当n=2m+1时，T（n，0）=0；T（n，0）=A000364号（m） 如果n=2m。
Sum_{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=T（m+n，0）。
G.f.：求和{n>=0}Q_n（u）*t^n/n！=1/（cos t-u sint）。
重现性关系
对于n>=0，
(1)... Q_（n+1）（u）=d/du Q_n（u）+u*d/du（u*Q_n
…=（1+u^2）*d/du Q_n（u）+u*Q_n，
与B型欧拉数的关系
(2)... Q_n（u）=（（u+i）/2）^n*B（n，（u-i）/（u+i）），其中i=sqrt（-1）和
[B（n，u）]n>=0=[1,1+u，1+6*u+u^2,1+23*u+23*u^2+u^3，…]是B型欧拉多项式序列（去掉因子u）-参见A060187号.
（结束）
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例子
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多项式Q_0（u）至Q_6（u）（指数按降序排列）为：
1
u个
2*u^2+1
6*u^3+5*u
24*u^4+28*u^2+5
120*u^5+180*u^3+61*u
720*u^6+1320*u^4+662*u^2+61
三角形开始：
1
0 1
1 0 2
0 5 0 6
5 0 28 0 24
0 61 0 180 0 120
61 0 662 0 1320 0 720
0 1385 0 7266 0 10920 0 5040
1385 0 24568 0 83664 0 100800 0 40320
0 50521 0 408360 0 1023120 1028160 362880
50521 0 1326122 0 6749040 0 13335840 0 11491200 0 3628800
0 2702765 0 30974526 0 113760240 0 185280480 0 139708800 0 39916800
2702765 0 98329108 0 692699304 0 1979524800 0 2739623040 0 1836172800 0 479001600
S（n；0）型蛇的符号变化统计sc示例
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…..蛇……#符号更改sc……….u^sc
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n=2
…0 1-2 3…………..2……….u^2
...0 2 1 3...........0.................1
…0 2-1 3…………..2……….u^2
产生Q_2（u）=2*u^2+1。
n=3
…0 1-2 3-4
…0 1-3 2-4…….3…………..u^3
…0 1-3-2-4…….1…………..u
…0 2 1 3-4………….1………..u
…0 2-1 3-4
…0 2-3 1-4…….3…………..u^3
…0 2-3-2-4…….1…………..u
…0 3 1 2-4……………1………………u
…0 3-1 2-4………….3………..u^3
…0 3-2 1-4…….3…………..u^3
…0 3-2-1-4………………………1 u
产量Q_3（u）=6*u^3+5*u。
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数学
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nmax=10；t[n，k]：=t[n、k]=k*t[n-1，k-1]+（k+1）*t[n-1，k+1]；t[0,0]=1；t[0，_]=0；扁平[表[t[n，k]，{n，0，nmax}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月14日*）
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程序
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（哈斯克尔）
a104035 n k=a104035_tabl！！不！！k个
a104035_row n=a104035-tabl！！n个
a104035_tabl=迭代f[1]，其中
f xs=zipWith（+）
（zipWith（*）[1..]（尾部xs）++[0，0]）（[0]++zipWise（*）[1]xs）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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已批准
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