设k是一个大于等于2的整数。序列(c(n):n>=1)的BHK[k]变换的g.f.,其中g.f.c(x)=Sum_{n>=1}c(n)*x^n,如果k是偶数,则为A_k(x)=(c(x)^k-c(x^2)^(k/2))/2;如果k是奇数,则为A_k(x)=(c(x)/2)*(c(x)^{k-1}-c(x^2)^{(k-1)/2})。这很容易从下面关于变换的C.G.Bower网络链接中的公式中得到。
当k是偶数且c(n)=1表示所有n>=1时,我们得到c(x)=x/(1-x)和A_k(x)=(1/2)*((x/(1-x))^k-(x^2/(1-x^2))^{k/2})。如果(a_k(n):n>=1)是输出序列(带有g.f.a_k(x)),则可以证明(使用泰勒展开)对于偶数n>=k+1,a_k。(显然,a_k(1)=…=a_k(k)=0。)
在这个序列中,k=8,并且(根据C.G.Bower)a(n)=a{k=8}(n)是具有8个阳性部分的n的可逆非正向成分的数量。如果n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8是n的这种组合(bi>=1),那么它等价于组合n=b8+b7+b6+b5+b4+b3+b2+b1,并且每个等价类都有两个元素,因为这里不允许使用线性回文作为n的组合。
事实上,我们正在寻找1,1,1…的BHK[8]变换。。。表示n的每个组成部分都可以有一种颜色(请参阅下面关于变换的鲍尔链接)。
在每个这样的组合中,将每个b_i替换为一个黑色(b)球,然后替换为b_i-1白色(W)球。然后放下第一个黑色(B)球。然后,我们得到了一个长度为n-1的可逆非线性字符串,它有k-1=7个黑球和n-k=n-8个白球。此过程应用于等效成分n=b1+b2+b3+b3+b4+b5+b6+b7+b8=b8+b7+b6+b2+b5+b4+b2+b2,得到两个长度为n-1的字符串,其中有7个黑球和n-8个白球,它们是彼此的镜像。
因此,对于n>=2,a(n)=a_{k=8}(n)也是长度为n-1的可逆非顺向串的数目,这些串具有k-1=7个黑球和n-k=n-8个白球。(显然,a(n)=a_{k=8}(n)>0仅适用于n>=9。)
(结束)