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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A032093型 带有n-1个2色珠子的可逆串的数量。6颗珠子是黑色的。字符串不是回文。 5
3、12、40、100、226、452、848、1484、2485、3976、6160、9240、13524、19320、27072、37224、50391、67188、88440、114972、147862、188188、237328、296660、367913、452816、553504、672112、811240、973488、1161984、1379856 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

8,1号

评论

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2018年5月19日:(开始)

让k成为一个整数>=2。如果k是偶数,k是偶数的,k(c(n):n>=1的序列(c(c(n):n>=1),g.f.c(x x)=Sum{n>=1}c(n)*x^n,如果k是偶数的,如果k是偶数,是一个UK(x)=(c(c(x)^k-c(x^2)^(k/2))/2如果k是偶数,并且如果k是偶数,并且k(x)x)=(c(c(x)/2)*(c(x(x)^(c(x x)^{k-1}c(x 2)^{(k-1(k-1/1)/2)2(k-如果k是奇数。这很容易从C.G.Bower下面关于变换的web链接中得到。

当k为奇数且c(n)=1时,我们得到c(x)=x/(1-x)和A_k(x)=(1/2)*(x/(1-x))*((x/(1-x))^{k-1}-(x^2/(1-x^2))^{(k-1)/2}。如果(a_k(n):n>=1)是输出序列(g.f.a_k(x)),则可以证明(使用泰勒展开式)对于n>=k+1,a_k(n)=(1/2)*(二项式(n-1,n-k)-二项式(floor((n-1)/2),floor((n-k)/2))(显然,a_k(1)=…=a_k(k)=0

在这个序列中,k=7,并且(根据C.G.Bower)a(n)=a{k=7}(n)是n的7个正部分的可逆非回文组成的数目。如果n=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7是这样一个n的组合(b_i>=1),那么它等价于n=b_7+b_6+b_5+b_4+b_3+b_2+b_1,并且每个等价类都有两个元素,因为这里不允许线性回文作为n的组成。

事实上,我们正在找到1,1,1,…的BHK[7]变换,这意味着n的每个组成部分都可以有一种颜色(参见下面关于变换的Bower链接)。

在每一个这样的组合中,用一个黑色(b)球替换每个b趶i-1个白色(W)球。然后扔掉第一个黑色的(B)球。然后我们得到一个长度为n-1的可逆非回文串,它有6个黑球和n-7个白球。将此过程应用于等效成分n=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7=b_7+b_6+b_5+b_4+b_3+b_2+b_1,得到两个长度为n-1的字符串,其中6个黑色球和n-7个白色球是彼此的镜像。

因此,对于n>=2,a(n)=a{k=7}(n)也是长度为n-1的可逆非回文串的数目,这些串有k-1=6个黑球,n-k=n-7个白球。(显然,a(n)=a{k=7}(n)>0只适用于n>=8。对于n=7,与字符串bbbbb对应的组合1+1+1+1+1+1+1+1,因为它是回文的,所以被丢弃。)

(结束)

链接

n=8..39的n,a(n)表。

C、 G.鲍尔,变换(2)

公式

“BHK[7]”(可逆,同一,未标记,7部分)1,1,1,1。。。

经验G.f.:-x^8*(x^2+3)/((x-1)^7*(x+1)^3)-科林·巴克2012年11月24日

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2018年5月19日:(开始)

a(n)=(1/2)*(二项式(n-1,n-7)-二项式(楼层((n-1)/2),楼层((n-7)/2)),n>=8。

G、 f.:(1/2)*(x/(1-x))*((x/(1-x))^6-(x^2/(1-x^2))^3),与G.f科林·巴克以上。

(结束)

例子

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2018年5月19日:(开始)

对于n=8,我们有以下3个可逆的非回文组合,包括n的7个部分:1+1+1+1+1+2(=2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+1(=1+2+1+1+1+1+1)和1+1+1+1+1+1+2+1+1(=1+1+2+1+1+1+1)。使用注释中描述的过程,我们得到了以下包含6个黑色球和n-7=1个白色球的可逆非回文字符串:bbbb w(=wbbbbb)、bbbbb wb(=BWBBBBB)和bbbbbbbbb(=bbwbbbbb)。

对于n=9,我们得到以下12个组合和12个对应的字符串:

1+1+1+1+1+1+3<->BBBB WW

1+1+1+1+1+3+1<->BBBBB WWB

1+1+1+1+3+1+1<->BBBBWWBB

1+1+1+1+1+2+2<->BBBBB WBW

1+1+1+1+2+1+2<->BBBBWBW

1+1+1+2+1+1+2<->BBBWBW

1+1+2+1+1+1+2<->BBWBBW

1+2+1+1+1+1+2<->BWBBBBW

1+1+1+1+2+2+1<->BBBBWBB

1+1+1+2+1+2+1<->BBBWBB

1+1+2+1+1+2+1<->BBWB

1+1+1+2+2+1+1<->BBBWBWBBB

(结束)

交叉引用

囊性纤维变性。A002620,A006584号,A032091型,A032092型,A032094型,甲239572,A282011型.

上下文顺序:A303348飞机 A237036号 A034956号*A007993号 A293366号 A327319型

相邻序列:A032090型 A032091型 A032092年*A032094型 A032095型 A032096型

关键字

作者

克里斯蒂安·G·鲍尔

扩展

定义稍有改变哈维·P·戴尔2017年10月2日

状态

经核准的

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上次修改日期:2022年10月6日08:17。包含357263个序列。(运行在oeis4上。)