让两个球体半径 和位于x个-轴居中于和,分别是。毫不奇怪,该分析与圆-圆交点.方程式两者中的一个球体是
组合(1)和(2)给予
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(3)
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乘法和重排给定
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(4)
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正在解决给予
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(5)
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The intersection of the球体因此,曲线位于飞机平行于-单程飞机-坐标。把这个插回(◇)会
这是一个圆圈具有半径
这个体积三维的透镜这两个球体的共同点可以通过将其相加得到球形的帽子.与球体中心到盖子的底部是
所以帽子的高度是
这个体积的球形盖高度的对于球属于半径 是
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(14)
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出租和将两个大写字母相加得出
这个表达式给出了对于必须如此。在特殊情况下,的体积简化为
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为了使两个相等球体的重叠部分等于每个单独球体体积的一半,球体必须相隔一定距离
(组织环境信息系统A133749号)乘以半径,其中是一个多项式根.
这个表面积球体的位于球体内部等于大圆球体的,前提是(克恩和布兰克1948年,第97页)。