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多项式根


多项式的根P(z)是一个数字z _ i这样的话P(z_i)=0这个代数基本定理声明a多项式的 P(z)学位n个n个根,其中一些可能退化。例如,根多项式的

 x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)
(1)

-1,1和2。因此,求多项式的根等价于多项式的因式分解转化为1级因子。

任何多项式的可以在数值上进行分解,尽管不同的算法有不同的优势和劣势。

多项式方程的根可以在Wolfram语言使用[lhs==相对湿度,无功功率,无功功率],或使用数字N根[lhs==相对湿度,无功功率,无功功率]. 一般来说,多项式的给定根P(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1+a_0(零)表示为[#^n个+[n个-1]#^(n个-1)+...+[0]&,k],其中k=1,2, ...,n个是识别特定根的指数,纯函数多项式为不可约的。请注意,在沃尔夫拉姆语言,根的顺序为不同的在每个命令中,N根、和[[第页,k],{k,n个}].

Wolfram语言,代数表达式涉及对象可以组合成一个新的对象使用命令RootReduce(根还原)

在这项工作中n个第个多项式的根P(x)按的顺序Wolfram语言对象表示为(P(x))_n,哪里x个是虚拟变量。在这种排序中,实根排在复根之前复共轭成对的根是相邻的。例如,

(x^2+x+1)_1=1/2(-1-isqrt(3))
(2)
(x^2+x+1)_2=1/2(-1+isqrt(3))
(3)

(x^3+x+1)_1 大约 -0.68232
(4)
(x^3+x+1)_2 大约 0.34116-1.1615i
(5)
(x^3+x+1)_3 大约 0.34116+1.1615英寸。
(6)

多项式的

 P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1+a1x+a0
(7)

表示第1段,第2段, ...,序号.然后维埃塔公式

总和(i=1)^(n)ri=-(a_(n-1))/(a_n)
(8)
sum_(i,j;i<j)^(n)r_ir_j=(a_(n-2))/(a_n)
(9)
总和_(i_1,i_2,…,i_k;i_1<i_2<…<i_k)^(n)r_(i_2)r_。。。r(i_k)=(-1)^k(a_(n-k))/(a_n)。
(10)

这些可以通过书写得出

 P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)。。。(x-r_n),
(11)

展开,然后将系数与(◇).

给定一个n个第个次数多项式a_nx^n++a1x+a0,这个可以通过查找特征值 λ_i矩阵

 [-a_1/a_0-a_2/a_0-a_3/a_0…-a_n/a_0;1 0 0…0;0 1 0…0
(12)

和采取r_i=1/λ_i这种方法计算成本高,但在寻找接近点时相当稳健和多个根。

如果系数多项式的

 d_nx^n+d_(n-1)x^(n-1+d_0=0
(13)

被指定为整数,则有理根必须具有分子这是一个因素d_0和a分母哪一个是一个因素dn(数字)(任何一个符号都可以)。这被称为多项式的余数定理

如果没有消极的 多项式的(可通过以下方式确定笛卡尔的符号规则),然后是最大下限为0。否则,写出系数,让n=-1,然后计算下一行。现在,如果有系数为0,将其设置为减去下一个更高的标志系数,从开始第二高阶系数.如果所有符号交替,n个是最大下限。如果不是,则从中减去1n个,然后计算另一条直线。例如,考虑多项式的

 y=2x^4+2x^3-7x^2+x-7。
(14)

执行上述操作算法然后给出

022-71-7
-120-78-15
--2-1-78-15
-2个2-2个-37-21
-32-45-1435

所以最大下限是-3

如果没有积极的 多项式的(可通过以下方式确定笛卡尔的符号规则),的最小上界为0。否则,写出系数多项式,必要时包括零。n=1。在下面的行上写下最高顺序系数从第二高开始系数,添加n个乘以刚刚写入的数字原始秒数系数,并将其写在第二系数。继续完成零阶。如果所有系数非负的,最小上界为n个。如果不是,请将一个添加到x个然后再次重复该过程。例如,以多项式的

 y=2x^4-x^3-7x^2+x-7。
(15)

执行上述操作算法给予

02-1-71-7
121-6-5-12
22-1-1-9
2582568

所以最小上界为3。

多项式根

绘制所有多项式在复数平面上的根,直到整数系数在一定程度上小于某个绝对值的截止整数,这显示了上述美丽的结构(Trott 2004,第23页)。

多项式根Loki

通过绘制带系数的所有多项式的所有根,可以得到一个更惊人的数字+/-1达到一定程度n个(Borwein和Jörgenson 2001;Pickover 2002;Bailey)等。2007年,第18页)。


另请参见

代数方程,代数数,贝尔斯托方法,贝莱坎普·扎森豪斯算法,共轭元素,笛卡尔的签名规则,高斯根定理,格拉菲氏方法,不可约多项式,Jenkins-Traub方法,詹森氏定理,拉盖尔方法,莱默·舒尔方法,卢卡斯根定理,梅利的程序,穆勒方法,多项式的歧视性的,多项式因式分解,结果,,维埃塔的公式

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Root/

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Bailey,D.H。;Borwein,J.M。;新泽西州卡尔金。;Girgensohn,R。;卢克·D·R。;和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利:A K Peters,2007年。布鲁查·雷德,A.T.公司。和Sambandham,M。随机多项式。纽约:学术出版社,1986年。Borwein,P.和Jörgenson,L.“数论中的可见结构”阿默尔。数学。每月 108, 897-911, 2001.Borwein,P。计算型分析与数论中的游程。纽约:Springer-Verlag,2002年。奥德利兹科,上午。;和Poonen,B.“多项式的零点0,1系数。"L'Enseignement数学。 39,317-348, 1993.潘,V.Y。“解多项式方程:一些历史和近期进展。"SIAM版本。 39, 187-220, 1997.皮克沃,C.答。这个奥兹数学:超越边缘的心理体操。纽约:剑桥大学出版社,第286-287页,2002年。特罗特,M。这个编程数学指南。纽约:Springer-Verlag,2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/

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引用如下:

埃里克·W·韦斯坦。“多项式根。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PolynomialRoots.html

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