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模乘群

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模乘群是有限群 M_米属于残留物类别素数到米欠乘法模米.M_米是阿贝尔（Abelian）属于组秩序 φ（米）,哪里φ（米）是指向函数.

模乘组

模乘群可以通过构造其循环图上面给出了一些低阶模乘的循环图小组。这样的图是通过绘制标记的节点来构建的，每个节点对应一个元素A类剩余类，以及通过迭代获得的连接循环A ^n（A ^n）。这样的图的每条边都是双向的，但它们通常是双向的使用无向边绘制，双边用于指示长度循环两个（Shanks 1993，第85和87-92页）。

下表给出了小阶模乘群及其同构循环群 C_n（_n）.

M_米组φ（米）元素
M_2（M_2）<e>21
M_3号C_221, 2
M_4号C_221, 3
M_5号C_4号机组41, 2, 3, 4
M_6C_221、5
M_7号C_661, 2, 3, 4,5, 6
M_8号C2×C241,3, 5, 7
M_9C_661, 2, 4, 5,7, 8
M_（10）C_4号机组41, 3, 7, 9
M_（11）C_（10）101, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
M_（12）C2×C241,5、7、11
M（13）C_（12）121, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
M_（14）C_661, 3, 5, 9,11, 13
M_（15）C_2×C_481,2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
M_（16）C_2×C_481,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
M_（17）C_（16）161, 2, 3,..., 16
M_（18）C_661, 5, 7, 11,13, 17
M_（19）C（18）181, 2, 3,..., 18
M_（20）C_2×C_481,3, 7, 9, 11, 13, 17, 19
M_（21）C_2×C_6121,2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20
M_（22）C_（10）101, 3, 5,7, 9, 13, 15, 17, 19, 21
M_（23）C_（22）221, 2, 3,..., 22
M（24）c2×c2×c281,5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

M_米是一个循环群（发生在米有一个基本根)若（iff） 米是其中一种形式m=2, 4,第^n页，或2便士，其中第页是一个奇数素数和n> =1（Shanks 1993年，第92页）。其中的前几项是m=3,4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, ... （组织环境信息系统A033948号;Shanks 1993年，第84页）。

唯一订购的米其中的元素立方米都是自共轭的是24:1，2，3的除数，4、6、8、12、24（OEISA018253号; Eggar 2000）。这些对应于组<e>,C_2,C2×C2、和C2×C2×C2这也意味着没有模乘组与三个以上副本的直接乘积同构C_2.

同构的模乘群可以使用托蒂恩功能 φ（米）使用的属性

φ（p^α）=p^（α-1）（p-1）
(1)

如Shanks（1993年，第92-93页）所述。要执行此因子分解，请从指向函数通过保理米以标准形式

m=p_1^（a_1）p_2^（a_2）。。。p_n^（a_n）。
(2)

现在，对于奇数素数，写入

φ（pi^（a_i））=（pi-1）pi^，
(3)

并将主导项考虑在内

p_i-1=q_1^（b_1）q_2^（b2）。。。q_s^（b_s）
(4)

作为

<q_1^（b_1）><q_2^（b2）><q_s^（b_s）>，
(5)

哪里<q^b>表示的显式扩展q^b个（即。，5^2=25)，如果a_i=1（因为在这种情况下，<p_i^（a_i-1）>=1)。

如果米包含2的幂，因此p_1=2，然后写入

φ（2^（a1））={a1<2时为零；a1=2时为<2>；a1>2时为<2（a1-2）>。
(6)

现在组合奇数和偶数素数中的项，将它们写成乘积，并组合任何明确的项乘积。表示结果表达式phi_米和团队M_米同构于循环序群的直积由提供phi_米.

例如，考虑阶模乘群m=104=2^3·13.唯一的奇素因子是13，所以因子分解给予13-1=12=<2^2><3>=3·4.104包含因子2 ^3个，所以偶数素数因子的规则给出<2><2^(3-2)>=<2><2>=2·2.组合这两个给予phi（104）=2·2·3·4.

M_米和M_n（_n）是同构的若（iff） phi_米和phi_n（电话号码）都是相同的。更具体地说，抽象组对应于给定的M_米可以根据组直接产品属于循环群所谓的特征因子，其产品是表示功率因数（_n）.此表示形式来自phi_米作为每个因素的最大幂乘积的集合属于phi_米.例如，对于phi_（104），2的最大幂为4=2^23的最大幂是3=3^1，所以第一个特征因素是4×3=12，离开2·2（即只有两种权力）。剩余最大功率是2=2^1,所以第二个特征因子为2，剩下2个，这是第三个也是最后一个特征因素因此，Phi_（104）=2·2·12、和组M_米与同构C2×C2×C_（12）.

下表总结了同构模乘法组M_n（_n）对于最初的几个n个并标识相应的摘要组.不M_米是同构的到循环的，循环的组 C_8号,四元数群 问题_8，或二面体群 D_4（D）.然而，每个有限阿贝尔群是同构的到子组属于M_米对于无穷多个不同的值米（Shanks 1993年，第96页）。循环图对应于M_n（_n）对于小型n个如上图所示，并且更加复杂周期图Shanks（1993年，第87-92页）对此进行了说明。

下表给出了模乘法组的顺序M_米与循环群的直积同构的对于m小于等于50.

组同构的立方米
<e>M_2（M_2）
C_2M_3号,M_4号,M_6
C_4号机组M_5号,M_（10）
C2×C2M_8号,M_（12）
C_6M_7号,M_9,M_（14）,M_（18）
C_2×C_4M_（15）,M_（16）,M_（20）,M_（30）
C2×C2×C2M（24）
C_（10）M_（11）,M_（22）
C_（12）M_（13）,M_（26）
C_2×C_6M_（21）,M_（28）,M_（36）,M_（42）
C_（16）M_（17）,M_（34）
C_2×C_8M_（32）
c2×c2×c4M（40）,M_（48）
C_（18）M_（19）,M_（27）,M_（38）
C_（20）M_（25）,M_（50）
C_2×C_（10）M_（33）,M_（44）
C_（22）M_（23）,M_（46）
C_2×C_（12）M_（35）,M_（39）,M_（45）
C_（28）M（29）
C_（30）M_（31）
C_（36）M_（37）
C_（40）M_（41）
C_（42）M_（43）,M_（49）
C_（46）M_（47）

的数量特征因子 第页属于M_米对于m=1,2, ... 是1，1，1。。。（组织环境信息系统A046072美元)。

的数量二次残差在里面M_米对于m> 2个由提供φ（m）/2^r（Shanks 1993年，第95页）。首批m=1,2, ... 为0、1、1、2、1、3、1、三、2、5、1、6。。。（组织环境信息系统A046073号)。

在下表中，φ（n）是指向函数（组织环境信息系统A000010号)计入特征因素,λ（n）是卡迈克尔功能（组织环境信息系统A011773号)、和g _ i是组中最小的生成器M_n（_n）（其中有一个数字等于特征因素)。

n个φ（n）λ（n）g _ in个φ（n）λ（n）g _ i
32222718182
4223282·6613, 3
54422928282
6225302·4411, 7
76633130303
82·227, 3322·8831, 3
9662332·101010,2
104433416163
1110102352·1212第6页，第2页
122·225, 7362·6619,5
13121223736362
146633818183
152·4414, 2392·121238,2
162·4415, 3402·2·4439,11, 3
17161634140406
18665422·6613, 5
19181824342423
202·4419, 3442·101043, 3
212·6620, 2452·121244,2
22101074622225
23222254746465
242·2·225,7, 13482·2·4447,7, 5
25202024942423
26121275020203

另请参见

特征系数,循环图,有限群,残留物类别,二次方残留

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工具书类

M.H.埃加。“整数24的一个奇怪性质。”数学。加兹。 842000年3月，第96-97页。里塞尔，H。“集团结构M_n（_n）."Prime（主要）因式分解的数字和计算机方法，第2版。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第270-272页，1994年。Shanks，D。解决了的《数论中未解决的问题》，第四版。纽约：切尔西，第61-62页和92，1993年。新泽西州斯隆。答：。序列A000010号/M0299，A011773号,A018253号,A033948号,A046072号,和A046073号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

模乘群

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“模乘组。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ModuloMultiplicationGroup.html

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