伽马分布是统计分布与β分布并且在等待时间间隔为泊松分布式的事件是相关的。伽马分布有两个自由参数,标记和,其中一些在上面进行了说明。
考虑一下分布函数 等待时间,直到给定的第th个泊松事件泊松分布以一定的变化率,
对于,哪里是一个完整的伽马函数、和一个不完整的伽马函数。使用整数,此分布是一种特殊情况,称为Erlang分布.
相应的概率函数等待时间,直到然后通过微分得到第th个泊松事件,
现在让我们(不一定是整数)并定义成为变化之间的时间。然后是上面的可以写出方程式
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对于.这是伽马分布的概率函数分布函数为
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哪里是一个正则伽马函数.
它在Wolfram语言作为函数伽马分布[阿尔法,θ].
这个特征函数描述这个分布是
哪里是傅立叶变换带参数、和动量生成功能是
给出大约0的时刻
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(19)
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(帕普利斯1984年,第147页)。
为了明确地找到力矩使用动量生成函数,让
所以
给出对数动量生成功能作为
这个意思是,方差,偏斜度,和峰态超越那么是
伽马分布与其他统计分布密切相关。如果,,...,是具有参数的伽马分布的独立随机变量,, ...,,然后以带参数的伽马分布
此外,如果和是具有参数的伽马分布的独立随机变量和,然后是一个β分布随参数变化两者都可以推导如下。
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让
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(35)
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(36)
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然后雅可比(Jacobian)是
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所以
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总额因此有分布
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(41)
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这是伽马分布,以及比率具有分布
哪里是β函数,这是一个贝塔分布.
如果和伽马变量是带参数的吗和,的是一个变量贝塔素数分布带参数和.让
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然后雅可比(Jacobian)是
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(46)
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所以
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(47)
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比率因此有分布
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这是一个β素数分布带参数.
伽马分布的“标准形式”如下所示,所以和
所以力矩大约0个
哪里是Pochhammer符号. The力矩关于那么是
这个动量生成函数是
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(61)
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和累积生成函数是
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所以累积量是
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如果是一个正常的用…变化意思是 和标准偏离 ,然后
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(64)
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是带参数的标准伽玛变量.
另请参见
贝塔分布,Chi-Squared公司分发,Erlang分布
与Wolfram一起探索| Alpha
工具书类
Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第534页,1987Jambunathan,M.V.医学博士。“Beta和Gamma的一些特性分配。"安。数学。斯达。 25, 401-405, 1954.帕普利斯,答:。概率,随机变量和随机过程,第二版。纽约:McGraw-Hill,第103-104页,1984年。参考Wolfram | Alpha
伽马分布
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“伽马分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html
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