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累积量

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让φ（t）成为特征功能，定义为傅里叶变换的概率密度函数 P（x） 使用傅里叶转型参数 a=b=1,

φ（t）=F_x[P（x）]（t）
(1)
=int_（-infty）^inftye（itx）P（x）dx。
(2)

累积量卡帕n然后由定义

lnphi（t）=总和（n=1）^inftykappa_n（（it）^n）/（n！）
(3)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第928页）。采取麦克劳林系列给予

lnphi（t）=（it）mu_1^'+1/2（it）^2（mu_2^'-mu_1^'^2）+1/（3！）^3mu_2^'+20mu_1^'^2mu_3^'-10mu_2^'mu_3^'+5mu_1^'（6mu_2^'^2-mu_4^'）+mu_5^']+。。。，
(4)

哪里mu_n^’是未经加工的力矩，所以

kappa_1=mu_1^'
(5)
卡帕_2=mu_2^'-mu_1^'^2
(6)
κ3=2mu_1^“^3-3mu_1^'mu_2^'+mu_3^'
(7)
卡帕4=-6mu_1^“^4+12mu_1^”^2mu_2“-3mu_2”^2-4mu_1^'mu_3^'+mu_4^'
(8)
kappa5型=24mu_1^'^5-60mu_1^'^3mu_2^'+20mu_1^''^2mu_3^'-10mu_2^'mu_3^'+5mu_1^''（6mu_2^'^2-mu_4^'）+mu_5^'。
（9）

这些变换可以由累计到原始[n个]在中数学软件应用程序包数学统计.

就中心力矩 多个（_n）,

κ_1=亩
(10)
卡帕_2=二氧化锰
(11)
卡帕3=mu_3
(12)
卡帕4=mu_4-3mu_2^2
(13)
kappa5型=mu5-10mu2mu3，
(14)

哪里亩是意思是和σ^2=mu2是方差.这些转换可以通过累计到中心[n个].

多元累积量可以用原始矩表示，例如。，

kappa（1,1）=-mu_（0,1）^'mu_（1,0）^'+mu_（2,1）^'
(15)
kappa（2,1）=2mu_（0,1）^'mu_（1,0）^'^2-2mu_（1,0）^'mu_，
(16)

和中心力矩，例如。，

kappa（1,1）=mu（1,1）
(17)
kappa（2,1）=μ_（2,1）
(18)
卡帕（3,1）=-3mu（1,1）mu（2,0）+mu（3,1）
(19)
卡帕（4,1）=-6mu（2,0）mu（2,1）-4mu（1,1）mu（3,0）+mu（4,1）
(20)
卡帕（5,1）=30mu_（1,1）mu_（2,0）^2-10mu_（2,1）mu（3,0）-10mu_（2,0）mu_
(21)

使用累计到原始[{米,n个, ...}]和至中环的累积量[{米,n个, ...}]分别是。

这个k个-统计学是无偏见的估计员累积量。

另请参见

特征函数,累积生成函数,傅里叶变换,k个-统计学,峭度,平均值,力矩,Sheppard的纠正,偏斜（Skewness）,无偏估计量,方差

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参考文献

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第9281972页。J.F.肯尼。和Keeping，E.S。“累积量和累积生成函数”，“加法性质”累积量”和“Sheppard’s Correction”。“§4.10-4.12数学《统计学》第2部分第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，第77-82页，1951

参考Wolfram | Alpha

累积量

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“累积量”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html网址

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