主题
搜索

力矩生成函数

给定一个随机变量 x个和一个可能性密度函数 P（x），如果存在h> 0个这样的话

M（t）=
(1)

对于|t |<小时,哪里<年>表示期望值属于年，然后百万吨称为动量生成函数。

对于连续分布，

百万吨=int_（-infty）^inftye^（tx）P（x）dx
(2)
=int_（-infty）^infty（1+tx+1/（2！）t^2x^2+…）P（x）dx
(3)
=1+tm_1^'+1/（2！）t^2m_2^'+。。。，
(4)

哪里m_r^'是第页第个原始力矩.

对于独立X（X）和Y（Y），力矩生成函数满足

M_（x+y）（t）=<e ^（t（x+y））>
(5)
=<（tx）e^（ty）>
(6)
=（tx）
(7)
=M_x（t）M_y（t）。
(8)

如果百万吨在零处可微，则n个第个力矩关于起源由提供M^（（n））（0）

M（吨）=M（0）=1
(9)
M^'（吨）=<xe^（tx）>M^'（0）=<x>
(10)
M^（“”）（t）=<x^2e^（tx）>M^（''）（0）=
(11)
M^（n）（t）=<x^ne^（tx）>M^（（n））（0）=<x^n>。
(12)

这个意思是和方差因此

亩=<x>
(13)
=M^'（0）
(14)
西格玛^2=<x^2>-<x>^2
(15)
=M^（''）（0）-[M^'（0）]^2。
(16)

同样

mu_n=sum_（j=0）^n（n；j）（-1）^（n-j）mu_j^'（mu_1^'）^，
(17)

哪里mu_0^'=1和mu_j ^’是j个第个原始力矩.

有时使用对数动量生成函数的累积生成功能，由定义

R（吨）=单位[M（t）]
(18)
R^'（吨）=（百万吨）
(19)
R^（“”）（t）=（M（t）M^（'）（t）-[M^'（t）]^2）/（[M（t。
(20)

但是M（0）=<1>=1,所以

亩=M^'（0）=R^'（O）
(21)
西格玛^2=M^（''）（0）-[M^'（0）]^2=R^（'''）（O）。
(22)

另请参见

特征函数,累积量,累计发电量功能,力矩

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

J.F.肯尼。和Keeping，E.S。“力矩生成和特征函数”，“力矩生成函数的一些示例”和“特征函数的唯一性定理”§4.6-4.8数学《统计学》，第2部分，第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，第72-77页，1951

参考Wolfram | Alpha

力矩生成函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“力矩生成函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Moment-GeneratingFunction.html

主题分类