beta函数是Legendre和Whittaker and Watson(1990)为β完整的(也称为第一类欧拉积分)。它已定义通过
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beta函数在中实现Wolfram语言作为贝塔[一,b].
要导出贝塔函数的积分表示,请写出二阶乘作为
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现在,让我们,,所以
正在转换为极坐标具有,
然后,β函数定义为
重写参数,然后给出beta函数的通常形式,
通过对称性,
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一般的三角形式是
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方程式(14)可以转换为上的积分多项式通过出租,
对于任何具有,
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(《将军》1999年,第158页)。
将其放入可用于导出Legendre复制公式,让,所以和、和
将其置于可用于开发贝塞尔函数和超几何的功能,让,所以
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β函数的导数由下式给出
哪里是多γ函数.
可以使用高斯乘法公式
其他身份包括
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如果是一个积极的整数,然后
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此外,
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beta函数也由乘积给出
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(安德鲁斯等人。1999年,第8页)。
戈斯珀给出了一般公式
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对于古怪的 、和
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这是类似恒等式的直接结果伽马函数.堵塞和在上面给出特殊情况
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另请参见
Beta积分,中央Beta函数,Dirichlet Beta函数,Dirichlet积分,伽马射线功能,不完整的Beta函数,正则Beta函数
相关Wolfram站点
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta/
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M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。“Beta函数”和“不完整Beta函数。”§6.2和6.6手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第258和2631972页。安德鲁斯,G.E。;阿斯基,右。;和罗伊·R。特殊功能。英国剑桥:剑桥大学出版社,1999年。贝利,D.H。;Borwein,P.B。;和Plouffe,S.“关于快速计算各种多对数常数。"数学。计算。 66, 903-913,1997Arfken,G.《贝塔函数》第10.4节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第560-565页,1985埃尔德莱伊,A。;马格纳斯,W。;Oberhettinger,F。;和特里科米,F.G.公司。《贝塔函数》第1.5节较高的先验函数,第1卷。纽约:克里格,第9-13页,1981Jeffreys,H.和Jeffrey,B.S。“Beta函数。”§15.02英寸方法数学物理第三版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第463-464页,1988年。西科普夫。超几何的求和:求和与特殊函数恒等式的算法。德国布伦瑞克:Vieweg,第6-9页,1998年。S.G.将军。《贝塔函数》§13.1.11手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,第157-1581999页。莫尔斯,下午。和Feshbach,H。方法理论物理第一部分。纽约:McGraw-Hill,第425页,1953年。按,W.H。;弗兰纳里,B.P。;Teukolsky,S.A。;和韦特林。“伽马函数、β函数、阶乘、二项式系数”和“不完全贝塔函数,学生分布,F分布,累积二项分布。“§6.1和6.2数字的FORTRAN:科学计算的艺术,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第206-209和219-2231992页。扳手,J.和Oldham,K.B。“不完整的Beta函数.”第58章安功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第573-580页,1987年。惠特克,E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程,第四版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1990年。参考Wolfram | Alpha
Beta函数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Beta函数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html
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