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Beta函数


Beta函数

beta函数B(p,q)是Legendre和Whittaker and Watson(1990)为β完整的(也称为第一类欧拉积分)。它已定义通过

 B(p,q)=(伽玛(p)伽玛(q))/(伽玛(p+q))=((p-1)!(q-1)!)/((p+q-1)!)。
(1)

beta函数B(a,B)在中实现Wolfram语言作为贝塔[b].

要导出贝塔函数的积分表示,请写出阶乘作为

 米!n=int_0^inftye^(-u)u^mduint_0^inftye^(-v)v^ndv。
(2)

现在,让我们u=x^2v=y^2,所以

米!不!=4int_0^输入^(-x^2)x^(2m+1)dxint_0^输出^(-y^2)y^(2n+1)dy
(3)
=int_(-infty)^inftyint_(-inpty)^ inftye^(-(x^2+y^2))|x|^(2m+1)|y|^。
(4)

正在转换为极坐标具有x=rcosthetay=rsintheta

米!不!=int_0^(2pi)int_0^inftye^(-r^2)|rcostheta(2m+1)|rsintheta(2n+1)rdrdtheta
(5)
=int_0^inftye^(-r^2)r^(2m+2n+3)drint_0^(2pi)|cos^(2m+1)thetasin^(2 n+1)theta | dtheta
(6)
=4int_0^inftye^(-r^2)r^(2m+2n+3)drint_0^(pi/2)cos^(2m+1)thetasin^(2n+1)theta
(7)
=2(m+n+1)!int_0^(pi/2)cos^(2m+1)thetasin^(2n+1)theta。
(8)

然后,β函数定义为

B(m+1,n+1)=2int_0^(pi/2)cos^(2m+1)thetasin^(2n+1)theta
(9)
=(m!n!)/((m+n+1)!)。
(10)

重写参数,然后给出beta函数的通常形式,

B(p,q)=(伽马(p)伽马(q))/(伽玛(p+q))
(11)
=(第(p-1)页!(q-1)!)/((p+q-1)!)。
(12)

通过对称性,

 B(p,q)=B(q,p)。
(13)

一般的三角形式是

 int_0^(pi/2)sin^nxcos^mxdx=1/2B(1/2(n+1),1/2(m+1))。
(14)

方程式(14)可以转换为上的积分多项式通过出租u=cos^2θ

B(m+1,n+1)=(m!n!)/((m+n+1)!)
(15)
=int_0^1u^m(1-u)^ndu
(16)
B(米,n)=(伽马(m)伽马(n))/(伽玛(m+n))
(17)
=整数_0^1u^(m-1)(1-u)^(n-1)du。
(18)

对于任何z_1、z_2具有R[z_1],R[z_2]>0

 B(z_1,z_2)=B(z_2,z_1)
(19)

(《将军》1999年,第158页)。

将其放入可用于导出Legendre复制公式,让x=平方(u),所以u=x^2du=2xdx、和

B(米,n)=整数0^1x^(2(m-1))(1-x^2)^(n-1)(2xdx)
(20)
=2int_0^1x^(2m-1)(1-x^2)^(n-1)dx。
(21)

将其置于可用于开发贝塞尔函数超几何的功能,让u=x^2/(1-x^2)所以

 B(m+1,n+1)=int_0^infty(u^mdu)/((1+u)^(m+n+2))。
(22)

β函数的导数由下式给出

d/(da)B(a,B)=B(a,B)[psi_0(a)-psi_0(a+B)]
(23)
d/(db)B(a,B)=B(a,B)[psi_0(B)-psi_0(a+B)]
(24)
(d^2)/(db^2)B(a,B)=B(a,B){[psi_0(B)-psi_0(a+B)]^2+psi_1(B,
(25)
(d^2)/(dadb)B(a,B)=B(a,B){[psi_0(a)-psi_0(a+B)]×[psi_0(B)-psi_0(a+B)]-psi_1(a+B)},
(26)

哪里psi_n(x)多γ函数.

可以使用高斯乘法公式

B(np,nq)=(γ(np)γ(nq))/(γ(n(p+q)))
(27)
=n ^(-nq)(B(p,q)B(p+1/n,q)。。。B(p+(n-1)/n,q))/(B(q,q)B(2q,q。。。B((n-1)q,q))。
(28)

其他身份包括

B(p,q+1)=(伽玛(p)伽玛(q+1))/(伽玛(p+q+1))
(29)
=q/p(伽玛(p+1)伽玛(q))/(伽玛((p+1)+q))
(30)
=q/pB(p+1,q)
(31)
 B(p,q)=B(p+1,q)+B(p、q+1)
(32)
 B(p,q+1)=q/(p+q)B(p、q)。
(33)

如果n个是一个积极的整数,然后

 B(p,n+1)=(1.2…n)/(p(p+1)。。。(p+n))。
(34)

此外,

 B(p,p)B(p+1/2,p+1/2)=pi/(2^(4p-1)p)
(35)
 B(p,q)B(p+q,r)=B(q,r”)B(q+r,p)。
(36)

beta函数也由乘积给出

 B(x,y)=(x+y)/(xy)乘积_(k=1)^系数(1+(x+y)/k)/(1+x/k)(1+y/k)
(37)

(安德鲁斯等人。1999年,第8页)。

戈斯珀给出了一般公式

 产品_(i=0)^(2n)B(i/(2n+1)+a,i/(2 n+1)+B)=((2n+1)^((2n+1)/2)pi ^nB(n,1/2[(b+a)(2n+1)+1])b(a(2n+1),b(2n+1))/((n-1)!)
(38)

对于古怪的 n个、和

 产品_(i=0)^(2n-1)B(i/(2n)+a,i/(2 n)+B)=(n^npi^nB(n,2(a+b)n)b(2an,2bn))/(2^(2(a+b)n-n-1)(n-1)!B((a+B)n,(a+B+1)n),
(39)

这是类似恒等式的直接结果伽马函数.堵塞n=1n=2在上面给出特殊情况

 B(a,B)B(a+1/3,B+1/3)B(a+2/3,B+2/3)=(6活塞(3)B(3a,3b))/(1+3(a+B))
(40)
 B(a,B)B(a+1/4,B+1/4)B(a+1/2,B+1/2)B(a+3/4,B+3/4)=(2^(3-4(a+b))pi^2B(4a,4b))/。
(41)

另请参见

Beta积分中央Beta函数Dirichlet Beta函数Dirichlet积分伽马射线功能不完整的Beta函数正则Beta函数

相关Wolfram站点

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参考Wolfram | Alpha

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Beta函数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html

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