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循环多项式

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人们会认为，通过与匹配生成多项式,独立多项式,等，一个循环多项式，其系数是长度的循环数k个将被定义。虽然没有这样的多项式文献中似乎没有定义（相反，“循环多项式”通常是指对应于周期指数属于置换群)，他们是定义。

因此，这里首次定义的循环多项式就是多项式

C_G（x）=总和_（k=3）^nc_kx^k

其系数c_k（k）给出简单的数量循环出现在图形中G公司在n个节点。

由于可能的最小循环长度为3，因此循环多项式具有多项式次数至少3。这个多项式次数属于C_G（x）是周长属于G公司，图为哈密顿量 若（iff）度等于n个.

特别地，cn（立方厘米）给出了哈密顿圈，所以a图形为哈密顿量 若（iff） 抄送=0。图形是无三角形 若（iff） c3=0、和无平方的 若（iff） c4=0.

由于循环计数断开连接图是其循环计数的总和连接的组件,循环多项式在上相加有联系的组件.

下表总结了一些常见图类的循环多项式的闭合形式。

图表C（x）
书图表 S_（n+1）正方形P_21/2nx^4[（n-1）x^2+2]
完全二部图表 K_（n，n）1/2sum_（k=2）^（n）（n；k）^2k！（k-1）！x ^（2k）
完全图 K_n（未知）1/2sum_（k=3）^（n）（n；k）（k-1）！x ^k个
循环图 C_n（_n）x ^n个
齿轮图表（n（x^（2（n+1））-x^4））/（x^2-1）
舵图x^n+（n（x^n-x）x^2）/（x-1）
梯形图 P_2方形P_n总和（k=1）^（n）（n-k）x^（2k+2）
=（x^4[x^（2n）+n（x^2-1）-1]）/（（x^2-2）^2）
莫比乌斯梯子 M_n（M）x^（2n）-[x（x+1）]^n-[x（x-1）]^n+（n（x^（2（n+1））-x^4））/（x^2-1）
棱镜图 Y_n（年_月）（nx^4（x^（2n-2）-1）+（x^2-1）x^n[（1-x）^n+（1+x）^n]）/（x^2-1）
日出图 C_n圆圈K_1x ^n个
网状物图表[x（x+1）]^n-[x（x-1）]^n+（n（x^（2（n+1））-x^4））/（x^2-1）
车轮图表 W_n（n）x^（n-1）+（n-1
=x^（n-1）+（n-1，x（x^2-x^n））/（x-1）

下表总结了一些简单图类的循环多项式的递归关系。

图表秩序重现
反棱镜图7p_n（x）=x^（10）p_（n-7）（x）+（3x^2+2x+2）p_ x^4-4x^3-8x^2-5x-2）xp_（n-3）（x）
书籍图表 S_（n+1）正方形P_2三pn（x）=p（n-3）（x）-3p（n-2）（x
齿轮图4pn（x）=x^4（-p（n-4）（x））+2（x^2+1）x^2p_（n-3）（x
舵图4pn（x）=x^2（-p（n-4）（x））-（x^2+4x+1）p_（n-2）（x
梯形图 P_2平方P_n三pn（x）=x^2p（n-3）（x）-（2x^2+1）p（n-2）（x
莫比乌斯梯子 M_n（M）6p_n（x）=（x-1）（x+1）x^6p_（n-6）（x）-2（x^4-x-1）x^4p_（n-5）（x 3）（x）
日出图 C_n圆圈K_11pn（x）=xp（n-1）（x）
网络图6p_n（x）=（x-1）（x+1）x^6p_（n-6）（x）-2（x^4-x-1）x^4p_（n-5）（x 3）（x）

下表总结了一些图族的前几个循环多项式。

图表G（_n）组织环境信息系统n个C_（G_n）（x）
反棱镜图表三8x^3+15x^4+24x^5+16x^6
48x^3+10x^4+24x^5+52x^6+56x^7+29x^8
510x^3+10x^4+12x^5+35x^6+100x^7+160x^8+140x^9+56x^（10）
612x^3+12x^4+12x^5+14x^6+48x^7+177x^8+388x^9+498x^（10）+。。。
鸡尾酒会图表 K_（n×2）A167986号2x ^4个
三8x^3+15x^4+24x^5+16x^6
432x^3+102x^4+288x^5+640x^6+960x^7+744x^8
完全图 K_n（未知）三x ^3（x ^3）
44x^3+3x^4
510x^3+15x^4+12x^5
620x^3+45x^4+72x^5+60x^6
735x^3+105x^4+252x^5+420x^6+360x^7
树冠图三x ^6
46x^4+16x^6+6x^8
530x^4+130x^6+270x^8+156x^（10）
690x^4+680x^6+3330x^8+7776x^（10）+4800x^（12）
循环图 C_n（_n）三x ^3（x ^3）
4x ^4个
5x ^5（x ^5）
6x ^6
网格图表 P_n方形P_n2x ^4个
三4x^4+4x^6+5x^8
49x^4+12x^6+26x^8+52x^（10）+76x^
516x^4+24x^6+61x^8+164x^（10）+446x^
超立方体图 问题（_n）A085452号2x ^4个
三6x^4+16x^6+6x^8
424x^4+128x^6+696x^8+2112x^（10）+5024x^
580x^4+640x^6+6720x^8+68736x^（10）+591200x^。。。
（n，n）-主图24x^3+3x^4
三16x^3+29x^4+52x^5+82x^6+92x^7+61x^8+16x^9
436x^3+79x^4+176x^5+430x^6+1096x^7+2727x^8+6184x^9+12224x^（10）+20404x^。。。
（n，n）-骑士图2x ^8（x ^8）
三4x^4+20x^6+32x^8+68x^（10）+82x^
422x^4+164x^6+892x^8+3864x^（10）+13042x^
梯形图 P_2方形P_n2x ^4个
三2x^4+x^6
43x^4+2x^6+x^8
54x^4+3x^6+2x^8+x^（10）
65x^4+4x^6+3x^8+2x^（10）+x^
棱镜图 Y_n（年_月）三2x^3+3x^4+6x^5+3x^6
46x^4+16x^6+6x^8
55x^4+2x^5+5x^6+20x^7+5x^8+10x^9+5x^（10）
66x^4+8x^6+36x^8+36x*^10+8x^（12）
77x^4+7x^6+2x^7+7x*8+42x^9+7x*（10）+70x*（11）+7x>（12）+14x^（13）+7x^（14）
（n，n）-皇后图24x^3+3x^4
三36x^3+122x^4+376x^5+976x^6+1984x^7+2761x^8+1960x^9
4124x^3+776x^4+4644x^5+26414x^6+141216x^7+696906x^8+3118000x^9+12423308x^（10）+43071536x^
（n，n）-车形图2x ^4个
三6x^3+9x^4+36x^5+60x^6+72x^7+81x^8+48x^9
432x^3+60x^4+288x^5+1248x^6+4032x^7+11952x^8+34368x^9+91296x^（10）+2119968x^（11）+417264x^（12）+670464x^（13）+822528x^（14）+678912x^（15）+284112x^（16）

另请参见

循环索引,图形周期,哈密顿循环,路径多项式的

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“循环多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CyclePolynomial.html

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