整数序列杂志,第2卷(1999年),第99.1.1条

关于烷烃(或四价树)的Cayley计数

E、 M.Rains和N.J.A.Sloane
信息科学研究
AT&T香农实验室
新泽西州弗洛勒姆公园07932-0971

电子邮件地址:rains@research.att.com,njas@research.att.com

摘要:凯利1875年对中心烷烃和双中心烷烃的计数(未标记的价值最多为4的树)被修正和扩展——可能是124年来第一次。

1.简介

1875年,凯利试图列举烷烃CnH2n+二,或等效n-节点未标记的树,其中每个节点的阶数最多为4,并发布了一个简短的注释[珊瑚礁75]包含表格:

        n     1 710个十一十二十三  
   居中的   101120个37岁86岁183419 (一)
 双中心  01011十五3873个174380 (二)
      全部的      111十八35岁75个159357799 (三)

(“居中”和“双中心”定义如下。)这张表是由布萨克和萨蒂在1965年复制的[65号总线],这三个序列包括在[他的].

事实上,正如赫尔曼在1880年已经指出的那样,最后两列是错误的[她80岁].赫尔曼用的方法和凯利不同,并给出正确的值355(对于n=12)和802(适用于n=13)对于顺序(3)。但是,两者都没有[她80岁]在他后来的两个笔记里也没有[她97],[她的98]他有提到序列(1)和(2)吗。

烷烃序列(3)也在工作中由希夫[Sch75],洛桑尼奇[损失97],[损失97A],亨泽和布莱尔【HeB31】,佩里[每32个],波利亚[波利亚36],[波利亚37],哈拉里和诺曼[汉60],莱德伯格【Led69】,阅读[雷亚76],罗宾逊、哈拉里和巴拉班【RoHB76】,还有伯格伦,拉贝尔和勒鲁[贝尔98].最简单的生成函数是由Harary和Norman产生的(见第4节[雷亚76]或第289页[贝尔98]).然而,这些作者都没有使用凯利的方法,据我们所知,他们中没有人讨论序列(1)和(2)。

1988年R.K.盖伊写信给N.J.A.S。,指出这三个序列有错误,并建议用多晶硅计数理论对(1)和(2)进行推广。(3)的正确版本,顺序A000602号,已经出现在[他的].)这是本说明的目标。

我们承认有另一个,希望扩展序列(1)和(2)的更不光彩的原因。数据库中的序列[环境影响报告]编号(A000001号,A000002号,A000003号,…),有人提出“对角线”序列,谁的n第个术语是nA的第个项n,应添加到[环境影响报告].(1)是序列的事实A000022号提供了额外的动力将其延长至至少第22届任期!(“对角线”顺序现在是在数据库中,序列A031135,更不明确的是A037181号谁的n第1项+nA的第个项n.)

最困难的是确定凯利到底想数什么,自从[珊瑚礁75]有点不清楚,包含了很多印刷错误。一旦问题被发现,问题就变了很容易计算出这些序列,所以事实上,这很可能是自那以后的124年里一直在做的[珊瑚礁75]出现。但是我们在文献中找不到它的任何记录。

2.生成函数

直径2的树有一个名为这个居中,位于任何长度为2的路径的中点一棵直径很大的树2+1有一对唯一的节点称为双中心,位于任何长度为2的路径的中间+这些术语是约旦在1869年左右提出的([Har69],p、 第三十五条)。

凯利法[珊瑚礁75]在计算烷烃时,使用中心和双中心的概念,将问题简化为关于有根树的简单问题。结果证明这是一种解决问题的笨拙方法(因为直径的概念是不相关的),并且可以解释为什么没有其他人使用这种方法。

利用“质心”和“双熵”,也是由于约旦(见哈拉雷[Har69],第36页,定义)。1881年凯利[珊瑚礁81]找到了个重复出现的n-具有质心(序列)的节点树A000676号)用双熵(A000677号),这给了他一个简单的方法来计算无芒树(A000055型).然而,据我们所知,凯利并没有使用质心/双熵方法来计算烷烃(A000602号).这显然是波利亚首先做的[波利亚36],[波利亚37]1936年。

但是,我们在这里担心具有中心树和双中心树。

我们会说一棵树是k价如果每个节点的阶数为最多k烷烃正是四价树。

我们也会考虑有根的树,并定义一个二进制有根树可以是空树,也可以是每个节点的出度(不包括连接到根的边的价)最多的有根树b。这概括了二元的有根的树,这个案子b=2,它要么是空树,要么是每个节点都有0、1或2个子节点的根树。(文献包含了二进制和b-山茱萸。这些术语有时特指平面树。我们的树不是平面的,尤其是没有左或右的概念。)

我们将找到中心和双中心的生成函数k-情人树。

修复k,让Th、 n是(k-1) -有根的树木n最多节点和高度h(根树中节点的高度是将节点连接到根的边数。)按照惯例,空树的高度为-1。Th(z) = 总和n>=0 Th、 nzn.那么T-1(z)=1,T0(z)=1+z,为了h>1个,

    Th+1(z)=1+z Sk-1(Th(z)),(4)

哪里S(f(z))表示替换的结果f(z)序对称群的循环指数!. 例如,

S(f(z))  =  (f(z)+三f(z)f(z2)+2个f(z))/3!。

方程(4)成立,因为如果我们去掉根和相邻边从有根的树上h+我们只剩下一个无序的(k-1) -树高的元组h.

让C2h、 n是居中的号码k-有价树n节点和直径2h,让C2h(z) =  总和n>=0C2h、 n zn。删除中心节点以及相邻边缘,我们看到任何这样的树都对应于一个无序的k-元组(k-1) -最多有树根的树h-1,其中至少有两个有确切的高度h-1.因此

C2h=(1)+z Sk(Th-1(z)))—(1)+z Sk(Th-二(z))) - (Th-1(z)-Th-二(z))(Th-1(z)-1)。(5)

(5)中的三个表达式解释了k-根元组最多的树h-1个,k-根元组最多的树h-2,扎根树根上只有一棵子树的树h-分别是1个。

最后,让Cn表示居中的数量k-有价树n节点,和C(z) =  总和n>=0 Cnzn.那么

C(z)  =  总和h>=0 C2小时(z) .

k=4我们得到

C(z)=z+z+z4+二z5+二z6+6 z轴7+9 z8+20赫兹9+37 z10+86 z11+181 z12+422 z13+ ... ,

这是Cayley序列(1)的正确版本,A000022号.(参见桌子以下内容。)

双中心树更容易处理。B2h+1个,n是二进制数k-有价树n节点和直径2h+1个,B2h+1(z)  =  总和n>=0 B2h+1个,n zn,让Bn是bicenter的总数k-有价树n节点,然后让B(z)  =  总和n>=0 Bnzn.因为双中心树对应于一对无序的(k-1) -高的有根的树h,我们有

B2h+1(z)  = S2(Th(z) -Th-1(z)) ,

然后

B(z)  =  总和h>=0 B2h+1(z) .

k=4我们得到

B(z)  = z2+z4+z5+z6+3 z7+9 z8+15 z9+38 z10+73 z11+174 z12+380 z13+ ... ,

凯莱序列(2),A000200台(事实证明这是正确的)。

烯烃的生成函数(A000602号)是吗

C(z) +B(z)  = z+z2+z+二z4+三z5+ 5z6+9 z7+18 z8+35 z9+75 z10+159 z11+355 z12+802赫兹13+ ... ,

与亨泽和布莱尔达成一致【HeB31】(除了他们付出的价值n=19147284,不正确:应该是148284)。其他术语如下表所示:

表格: 居中、双中心和无限制的数量四价树n节点
 n  居中的  双中心  全部的
 (A000022号)(A000200台)(A000602号)
1101
011
101
11
1
7
十八
20个十五35岁
10个37岁3875个
十一86岁73个159个
十二181个174个355年
十三422个380个802个
14943年915个1858年
十五2223个2124个4347个
165225个5134个10359个
1712613个12281个24894个
十八3051330010号60523个
十九74883号73401号148284个
20个184484年181835年366319个
21458561个452165个910726号
22个1145406号1133252个2278658
............

如果我们设置k=3在上述公式中(对应于中心树、双中心树和无限制的3价树),我们得到序列A000675号,A000673号A000672号,凯利在1875年的另一篇论文中(正确地)发表了最初的术语[Cay75a],1975年R.W.Robinson计算了更多的项[机器人75].

k=5和6得到的序列(A036648号,A036649号,A036650型,A036651号,A036652号,A036653号)似乎是新的。

 

工具书类

[贝尔98]F、 伯格伦,G.Labelle和P.Leroux,组合物种与树状结构,坎布。大学出版社,1998年,见第290页。

[65号总线]R、 G.布萨克和T.L.萨蒂,有限图与网络,纽约州麦格劳希尔,1965年,见第201页。

[珊瑚礁75]A、 凯利,尤伯分析专家陈菲伦,在数学的基础上,我们用数学的方法来解释化学理论,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,8(1875年),1056-1059年。

[Cay75a]A、 Cayley,关于树的分析形式,以及在化学结合理论中的应用,英国科学协会高级科学报告。,45(1875年),257-305=数学。论文,第9卷,第427-460页(见第451页)。

[珊瑚礁81]A、 Cayley,在被称为树的分析形式上,阿默尔。J、 数学。,4(1881年),266-268年。

[Har69]F、 骚扰,图论,Addison Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1969年。

[汉60]F、 哈拉里和R.Z.诺曼,图的相异特征定理,程序。阿默尔。数学。Soc。,54(1960年),332-334年。

【HeB31】H、 R.Henze和C.M.Blair,甲烷系异构烃的数量,J、 阿默尔。化学。Soc。,53(1931年),3077-3085年。

[她80岁]F、 Hermann,Ueber das Problem,die Anzahl der异构体石蜡CnH2n+二祖贝斯汀曼,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,13(1880年),792年。[作者的名字和化学式都不正确。]

[她97]F、 Herrmann,Ueber das Problem,die Anzahl der die Anzahl der异构体石蜡CnH2n+二祖贝斯汀曼,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),第2423-2426页。

[她的98]F、 赫尔曼,恩特格南,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,31(1898年),91年。

【Led69】J、 莱德伯格,《分子拓扑学》,第37-51页数学科学,麻省理工学院出版社,剑桥,马萨诸塞州,1969年。

[损失97]S、 M.Losanitsch,石蜡切片异构体,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),1917-1926年。

[损失97A]S、 M.Losanitsch,Bemerkungen zu der Hermannschen Mittheilung:异构烷烃,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),3059-3060年。

[每32个]D、 Perry,甲烷和甲醇的某些同系物的结构异构体的数量,J、 阿默尔。化学。Soc。,54(1932年),第2918-2920页。

[波利亚36]G、 Polya,Algebraishche Berechnung der Anzahl der conformenen einiger Organcher Verbindungen,泽特。f、 克里斯托。,93(1936年),第415-443页。

[波利亚37]G、 Polya,Kombinatorische Abzahlbestimmungen für Gruppen,石墨烯和化学制品Verbindungen,数学学报。 68(1937年),145-254。翻译成G.Polya和R.C.Read,群、图和化合物的组合计数,斯普林格·韦拉格,纽约,1987年。

[雷亚76]R、 C.Read,《无环化合物的计数》,A.T.Balaban编辑的第25-61页。,图论的化学应用,学术出版社,纽约,1976年。

[机器人75]R、 W.罗宾逊,《个人沟通》,1975年。

【RoHB76】R、 W.Robinson,F.Harary和A.T.Balaban,手性和非手性烷烃以及单取代烷烃的数量,四面体,32(1976年),第355-361页。

[Sch75]H、 希夫,Zur Statistik chemischer Verbindungen,伯尔。德国。化学。伯尔。,8(1875年),1542-1547年。

[他的]N、 J.A.斯隆,整数序列手册,学术出版社,纽约,1973年。

[环境影响报告]N、 J.A.斯隆,整数序列在线百科全书,电子版发布于http://oeis.org.

 


(与序列有关A000001号,A000002号,A000003号,A000022号,A000055型.,A000200台,A000602号,A000672号,A000673号,A000675号,A000676号,A000677号,A031135,A036648号,A036649号,A036650型,A036651号,A036652号,A036653号,A037181号.)


收到日期:1998年8月13日;1999年1月10日发表于《整数序列杂志》。


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