整数序列杂志，第2卷（1999年），第99.1.1条

摘要：凯利1875年对中心和双中心烷烃的列举（最多4棵未标记的价树）进行了修正和扩展，这可能是124年来的首次。

1.简介

1875年，凯利试图列举烷烃C_n个H（H）_2n个+2，或同等n个-节点未标记树，其中每个节点的阶数最多为4，并发布了一个简短注释[开75]包含表：

（术语“居中”和“双居中”的定义如下。）该表由Busacker和Saaty于1965年复制[BuS65]，这三个序列被包括在[医院信息系统].

事实上，正如赫曼在1880年指出的那样，最后两列是错误的[她80岁].Herrmann使用了与Cayley不同的方法，并给出正确的值355（对于n个=12）和802（适用于n个=13）用于序列（3）。然而，在[Her80]也不在他后来的两篇笔记中[她97岁]，[她98岁]他提到序列（1）和（2）了吗。

工作中还讨论了烷烃序列（3）希夫[附表75]，洛萨尼奇[损失97]，[损失97a]，亨泽和布莱尔【HeB31】，佩里[第32页]，波利亚[波利亚36]，[波利亚37]，哈拉里和诺曼[HaN60]，莱德伯格[莱德69]，阅读[后76]，罗宾逊、哈拉里和巴拉班【RoHB76】，贝杰隆、拉贝尔和勒鲁【BeLL98】.最简单的生成函数是由于Harary和Norman（见第4节[后76]或第289页【BeLL98】).然而，这些作者都没有使用凯利的方法，就我们所知，他们都没有讨论序列（1）和（2）。

1988年，R.K.Guy写信给N.J.A.S。，指出这三个序列中有错误，并建议用波利亚计数理论推广（1）和（2）。（（3）的正确版本，序列A000602号，已存在于[医院信息系统].)这样做是本说明的目标。

我们承认还有一个，希望扩展序列（1）和（2）的更不光彩的理由。数据库中的序列[环境影响报告]已编号(A000001号，A000002号，A000003号，……），一些人建议使用“对角线”序列，谁的n个第个术语是n个第A项n个，应添加到[环境影响报告].（1）是序列的事实A000022号为将其至少延长到第22个学期提供了额外的动力！（“对角线”序列现在是在数据库中，顺序A031135号，定义更不明确A037181号谁的n个第项是1+n个A的第个任期n个.)

最困难的部分是确定凯利到底想计算什么，自从【75加元】有些不清楚，并且包含许多印刷错误。一旦发现问题，问题就变了很容易计算这些序列-所以事实上，这很可能发生在124年后【75加元】出现。但我们在文献中找不到任何关于它的记录。

2.生成函数

直径为2的树米具有名为的唯一节点这个中心，在长度为2的任何路径的中点米一棵直径很大的树2米+1有一对唯一的节点，名为双中心，位于长度为2的任何路径的中间米+1.这些术语是约旦于1869年左右提出的([哈69]，第35页）。

凯利的方法【75加元】计算烷烃时，使用中心和双中心的概念，将问题简化为关于有根树的简单问题。事实证明，这是解决问题的一种尴尬方式（因为直径的概念是无关紧要的），并且可以解释为什么没有其他人使用这种方法。

使用“质心”和“双质心”，也是由于约旦（参见Harary[哈尔69]第36页，关于定义）。1881年凯利[卡伊81]发现重复出现的次数n个-具有质心（序列）的节点树A000676号)和一个双质心(A000677号),这给了他一种更简单的方法来枚举未生根的树(A000055元).然而，据我们所知，凯利并没有使用质心/双质心方法来枚举烷烃(A000602号).这显然是波利亚首先做的[波利亚36]，[波利亚37]1936年。

然而，我们对此感到担忧是具有中心树和双中心树。

我们会说树是k价如果每个节点的度为至多k个烷烃正是四价树。

我们还将考虑有根的树，并定义一个b元根树可以是空树，也可以是根树，其中每个节点（连接到根的边除外）的出度最多为b。这概括了二元的有根的树，案例b=2，即空树或根树，其中每个节点都有0、1或2个子节点。（文献中包含二进制和b-银杏树。这些术语有时专门指平面树。我们的树不是平面，尤其是没有右或左的概念。）

我们将找到中心和双中心的生成函数k个-有价树。

修复k个，并让T型_{h、 n个}是的数字(k个-1） -有树根的树木n个节点和最高高度小时。（有根树中节点的高度是将节点连接到根的边的数量。）按照惯例，空树的高度为-1。让T型_小时(z（z）) = SUM（总和）_{n个>= 0} T型_{h、 n个}z（z）^n个.然后T型_-1(z（z）)  = 1,T型₀(z（z）)  = 1+z（z），和小时>1中，

哪里S公司_米(（f）(z（z）))表示替换的结果（f）(z（z）)对称序组的循环指数米!. 例如，

方程（4）成立，因为如果我们删除根和相邻边从根深蒂固的树上小时+我们剩下的是无序(k个-1） -树的高度元组小时.

让C_{2h、 n个}是居中数k个-有价树n个节点和直径2小时，然后让C_2小时(z（z）) =  SUM（总和）_{n个>= 0}C_{2h、 n个} z（z）^n个。通过删除中心节点和相邻边缘，我们看到，任何这样的树都对应于无序k个-的元组(k个-1） -根数最多的树木小时-1，其中至少有两个具有精确的高度小时-1.因此

（5）中的三个表达式说明了k个-根元组最高高度的树木小时-1,k个-根元组最高树高小时-2，和根根上只有一个子树的树小时-分别为1。

最后，让我们C_n个表示居中数k个-有价树n个节点，以及C(z（z）) =  SUM（总和）_{n个>= 0} C_n个z（z）^n个.然后

对于k个=4，我们得到

这是凯利序列（1）的修正版本，A000022号.（请参阅桌子（见下文）

双中心的树更容易处理。让B_{2小时+1,n个}是双中心数k个-有价树n个节点和直径2小时+1, 让B_2小时+1(z（z）)====================================================================================SUM（总和）_{n个>= 0} B_{2小时+1,n个} z（z）^n个，让B_n个是双中心的总数k个-有价树n个节点，并让B(z（z）)  =  SUM（总和）_n个>=0 B_n个z（z）^n个.由于双中心树对应于一对无序的(k个-1） -有根的树木高度准确小时，我们有

然后

对于k个=4，我们得到

凯利序列（2），A000200型（事实证明这是正确的）。

烯烃的生成函数(A000602号)就是那个时候

与Henze和Blair达成一致[HeB31]（除了他们给出的价值n个=19，147284不正确：应该是148284）。其他术语如下表所示：

如果我们设置k个在上述公式中=3（对应于中心树、双中心树和无限制三价树），我们得到了序列A000675号，A000673号和A000672美元，凯利在1875年的另一篇论文中（正确地）发表了最初的术语[公元75a年]，1975年R.W.Robinson计算了进一步的条件[罗布75].

对于k个=5和6得到的序列(A036648美元，A036649号，A036650号，A036651号，A036652号，A036653美元)看起来是新的。

工具书类

【BeLL98】F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合种与树状结构，外倾角。大学出版社，1998年，见第290页。

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[公元75a年]A.Cayley，《关于树的分析形式及其在化学组合理论中的应用》，英国高级科学协会报道。，45(1875), 257-305  = 数学。论文第9卷，第427-460页（见第451页）。

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[Her97]F.Herrmann，Ueber das Problem，die Anzahl der异构体石蜡von der FormelC_n个H（H）_2n个+2祖贝西曼，Ber.公司。德国。化学。格式。，30(1897), 2423-2426.

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[附表75]H.Schiff，Zur Statistik chemischer Verbindungen，Ber.公司。德国。化学。Ber.公司。，8(1875), 1542-1547.

[医院信息系统]N.J.A.斯隆，整数序列手册，学术出版社，纽约，1973年。

[环境影响报告]N.J.A.斯隆，整数序列在线百科全书，电子发布于http://oeis.org.

（与序列有关A000001号，A000002号，A000003号，A000022号，A000055号。，A000200型，A000602号，A000672号，A000673号，A000675号，A000676号，A000677号，A031135号，A036648号，A036649号，A036650号，A036651号，A036652号，A036653号，A037181号.)

接收日期：1998年8月13日；发表在《整数序列杂志》1999年1月10日。