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| A316699型 |
| 不包含长度大于3的循环n位二进制字符串（带标记）的数量。 |
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1
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2, 4, 8, 14, 20, 38, 70, 134, 240, 442, 814, 1502, 2756, 5070, 9326, 17158, 31552, 58034, 106742, 196334, 361108, 664182, 1221622, 2246918, 4132720, 7601258, 13980894, 25714878, 47297028, 86992798
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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设q和m为正整数。我们用f1（m，q，n）表示长度为n的（带标记的）循环q元字符串的数量，当不允许环绕时，这些字符串不包含长度大于m的序列，当允许环绕时用f2（m，qn）表示。
很明显，当n>m时，f1（m，q，n）=f2（m，q，n），但当1<=n<=m时，f1（m，qn）=q^n，f2（m、q，n。
Burstein和Wilf（1997）以及Edlin和Zeilberger（2000）考虑了f1（m，q，n），而Hadjicostas和Zhang考虑了f2（m，q，n）。
设g（m，q，x）=（m+1-m*q*x）/（1-q*x+（q-1）*x^（m+1））-（m+1。
Burstein和Wilf（1997）证明了数f1（m，q，n）的g.f.是f1（m，q，x）=（（1-x^m）/（1-x））*（q*x+（q-1）*x*g（m，qx））。
利用Burstein和Wilf（1997）的上述公式，Hadjicostas和Zhang（2018）证明了数字f2（m，q，n）的g.f.是f2（m，qx）=（（q-1）*x*（1-x^m）/（1-x））*g（m，q，x）。
项链是一个无标记的循环字符串。如果f3（m，q，n）是长度为n的q元项链的数量，没有长度大于m的链（并且允许绕链），那么f3（m，q，n）=（1/n）*求和{d|n}phi（n/d）*f2（m，q，d），其中phi（.）是欧拉的totilent函数。利用这个公式和F2（m，q，x），Hadjicostas和Zhang（2018）证明了数字f3（m，q，n）的g.f.由f3（m、q，x。
对于当前序列，我们有q=2和m=3。对于n>=4，我们有a（n）=f1（m=3，q=2，n）=f2。
如果A（x）是当前序列的g.f.，我们有A（x）=F1（m=3，q=2，x）=F2（m=3，q=2,x）+2*（x+x^2+x^3）。
当m=1和q=3时，我们得到f1（m=1，q=3，n）=三个字母上标记的循环单词的数量，没有两个连续的相似字母。我们有f1（m=1，q=3，n）=A092297年（n） 对于n>=2。这首先是由G.Critzer在该序列的评论中提出的。
当m=1和q=4时，我们得到f1（m=1，q=4，n）=四个字母上标记的循环单词的数量，没有两个连续的相似字母。我们有f1（m=1，q=4，n）=A218034型（n） 对于n>=1。这是J.Arndt在该序列的评论中首次提出的。
当m=2和q=2时，我们得到f1（m=2，q=2，n）=两个字母上标记的循环单词的数量，且长度不大于2。我们有f1（m=2，q=2，n）=A007040号（n） 对于n>=3。
Burstein和Wilf（1997）对上述公式进行了推广，Taylor（2014）在其论文的第5节中给出了该公式。
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链接
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Petros Hadjicostas和Lingyun Zhang，关于避免模式的循环字符串，离散数学，341（2018），1662-1674。
A.McLeod和W.O.J.Moser，循环二进制字符串计数，数学。Mag.，80（1）（2007），29-37。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x*（1+x+x^2）*（1+x+x^2+x^3-3*x^4-2*x^5-x^6）/（（1+x）*（1+x ^2）x（1-x-x^2-x^3））。
当n>9时，a（n）=a（n-2）+2*a（n-3）+3*a（n-4）+2*a（n-5）+a（n-6）-科林·巴克2019年7月28日
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例子
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对于n=4，我们有一个（4）=2^4-2=14，因为我们排除了0000和1111。
对于n=5，我们有一个（5）=2^5-12=20，因为我们排除了11111、11110、11101、11011、10111、01111，以及用1切换0的相同6个字符串。
对于n=6，我们有一个（6）=2^6-26=38，因为我们排除了111100、111001、110011、100111、001111、011110、11111 0、111101、111011、110111、101111、011111、111111，以及相同的13个字符串，其中0与1进行了切换。
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数学
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Rest[系数列表[级数[2*x*（1+x+x^2）*（1+x+x*2+x^3-3*x^4-2*x^5-x^6）/（（1+x）*（l+x^1）*（1-x-x^2-x^3）），{x，0，40}]，x]](*G.C.格鲁贝尔2019年4月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（x='x+O（'x^40））；向量（2*x*（1+x+x^2）*（1+x+x^2+x^3-3*x^4-2*x^5-x^6）/（（1+x）*（1+x ^2）x（1-x-x^2-x^3））\\G.C.格鲁贝尔2019年4月23日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），40）；系数（R！（2*x*（1+x+x^2）*//G.C.格鲁贝尔2019年4月23日
（鼠尾草）a=（2*x*（1+x+x^2）*（1+x+x^2+x^3-3*x^4-2*x^5-x^6）/（（1+x）*（1+x ^2）x（1-x-x^2-x^3））.系列（x，40）.系数（x，稀疏=假）；a[1:]#G.C.格鲁贝尔2019年4月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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