A316506-OEIS公司

A316506型

a（n）是模n的高斯整数乘法群的秩。

0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 5, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 5, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 1, 4, 2, 4, 1, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 3, 1, 4, 4, 2, 3

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

有限生成群秩（G）的秩定义为G的最小生成集的大小。

设p是奇素数，（Z[i]/nZ[i]）*是模n为n的高斯整数的乘法群，则：（Z[i]/p^e*Z[i]）*=（C_（（p-1）*p^（e-1）））^2，如果p==1（mod 4）；C_（p^（e-1））X C_（p2-1）*（p^2-1）），如果p==3（mod 4）。（Z[i]/2Z[i]）*=C_2，（Z[i]/2^e*Z[i】）*=C4 X C_（2^（e-2））X C_。如果n=产品{i=1..k}（p_i）^（e_i），则（Z[i]/nZ[i]）*=（Z[i）/（p_1）^。..X（Z[i]/（p_k）^（e_k）*Z[i]）*。

（Z[i]/nZ[i]）*的顺序是A079458号（n）它的指数是A227334号（n） ●●●●。

{a（n）}不是加法的：（Z[i]/2Z[i]）*=C_2，（Z[i]/9Z[i]）*=C_3 X C_24，所以（Z[i-]/18Z[i）*=C6 X C_24，a（18）<a（2）+a（9）。对于a（36）、a（54）和a（72）等等，也会出现同样的问题。但请注意，（Z[i]/63Z[i]）*=C_3 X C_24 X C_48和a（63）=a（7）+a（9）。

A079458号（n）/A227334号（n）始终是一个整数，并且当且仅当（Z[i]/nZ[i]）*是循环的，即秩（（Z[i]/nZ[1]）*）=a（n）=0或1，并且n在（Z[i-]/nZ[2]）*中有一个本原根时为1。a（n）=1当且仅当n=2或3模4的素数同余。 -宋嘉宁2019年1月8日

发件人宋嘉宁，2022年10月3日：（开始）

更一般地说，假设pi是范数p的Z[i]的素元素，或素数p的p^2，则：

-对于p==1（mod 4），（Z[i]/（pi^e）Z[i]）*=C_（（p-1）*p^（e-1））；

-对于p==3（mod 4），（Z[i]/（pi^e）Z[i]）*=C_（p^（e-1））XC_（p ^（e-1）*（p^2-1））；

-对于p=2，（Z[i]/（pi^e）Z[i]）*=C_1表示e=1，C_2表示e=2，C_4XC_（2^地板（（e-3）/2））XC_。

有关更一般的结果，请参阅下面的链接。（结束）

链接

宋嘉宁，n=1..10000时的n，a（n）表

宋嘉宁，二次域的整数环和R的素理想的（R/P^e）*的结构

配方奶粉

设p是奇素数，则：如果p==1（mod 4）或p==3（mod4），e>=2，则a（p^e）=2；如果p==3（mod 4），a（p）=1。a（2）=1，a（4）=2，a（2^e）=3，对于e>=3。

例子

（Z[i]/1Z[i]）*=C_1（秩为0）；

（Z[i]/2Z[i]）*=C_2（秩为1）；

（Z[i]/3Z[i]）*=C_8（秩为1）；

（Z[i]/4Z[i]）*=C_2 X C_4（秩为2）；

（Z[i]/5Z[i]）*=C_4 X C_4（秩为2）；

（Z[i]/6Z[i]）*=C_2 X C_8（秩为2）；

（Z[i]/7Z[i]）*=C_48（秩为1）；

（Z[i]/8Z[i]）*=C_2XC_4XC_4（秩为3）；

（Z[i]/9Z[i]）*=C_3 X C_24（秩为2）；

（Z[i]/10Z[i]）*=C_2 X C_4 X C_4.（秩为3）。

黄体脂酮素

（PARI）rad（n）=因子回复（因子（n）[，1]）；

梯度（n）=

{

my（r=1，f=系数（n））；

对于（j=1，#f[，1]，my（p=f[j，1]、e=f[j，2]）；

如果（p==2&e==1，r*=2）；

如果（p==2&e==2，r*=4）；

如果（p==2&e>=3，r*=8）；

如果（p%4==1，r*=（rad（p-1））^2）；

如果（p%4==3&e==1，r*=rad（p^2-1））；

如果（p%4==3&e>=2，r*=p^2*rad（p^2-1））；

);

收益（r）；

}

a（n）=如果（n>1，vecmax（因子（梯度（n））[，2]），0）；

交叉参考

囊性纤维变性。A046072美元,A079458号,A227334号,A302254型.

Eisenstein整数环中的等价项：A319447型.

上下文中的序列：A241675型 A349273型 A091222号*A294884型 A275024型 A325121型

相邻序列：A316503型 A316504型 A316505型*A316507型 A316508年 A316509型

关键词

非n

作者

宋嘉宁2018年7月5日

状态

经核准的