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| A120434号 |
| 按行读取三角形：按大降序数计算排列。 |
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7
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2, 4, 2, 8, 14, 2, 16, 66, 36, 2, 32, 262, 342, 82, 2, 64, 946, 2416, 1436, 176, 2, 128, 3222, 14394, 16844, 5364, 366, 2, 256, 10562, 76908, 156190, 99560, 18654, 748, 2, 512, 33734, 381566, 1242398, 1378310, 528818, 61946, 1514, 2
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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评论
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置换（x_1，x_2，…，x_n）中的大下降是位置i，使得x_i-x_（i+1）>=2。T（n，k）是[n]上具有k个大下降的排列数。[n]上排列中大下降的平均数为（n-1）（n-2）/（2n）。对于S（n，k）：=具有k个小下降的[n]上的置换数，即指数i使得x_i-x_（i+1）=1，gf和{n>=0，k>=0}S（n+1，k）x^n/n！y^k是1/（E^（x（1-y））*（1-x）^2）。
T（n，k）也是具有n+1个顶点和k+2个叶子的递归树的数目。（n个顶点上的递归树是一个有根树，其顶点标记为1、2、…n，因此根标记为1，并且从根开始的每条路径相对于标签都在增加。）-Taral Guldahl Seierstad（seiersta（at）informatik.hu-berlin.de），2006年10月12日
在T.G.Seierstad的评论中，“叶子”一词意味着“恰好与一条边相交的顶点”。因此，如果根只有一个子元素，那么根就是叶子。T（n，k）是顶点集{0,1,2，…，n}上以0为根的树的数目，其中包含k+1个叶子（这里的叶子是没有子元素的顶点），因此，对于i=0,1，。。。，n-1，正好有一个大于i的顶点与i相交。例如，T（3,0）=4计数{0->1->2->3}，{0->1->3->2}，}0->2->3->1}，以及T（3,1）=2计数{0->2->1,2->3{（箭头表示远离根的边）-大卫·卡伦2007年2月1日
如果我们将这个数组的条目除以2，然后按相反的顺序读取行，我们将得到2-欧拉数数组A144696号。
此数组的两种等效解释是：
A） 在对称群S_n中定义一个置换p，如果p（i）>=i+r，则在位置i处有一个r-excedance，1<=i<=n-1。这个数组给出了对称群S_n中具有k2-excedances的置换数（参见[Riordan]的最后一章）。例如，在对称群S_3中，两个排列（3,1,2）和（3,2,1）有一个2-例外，而其余四个排列没有2-例外。因此T（3.0）=4，T（3.1）=2。欧拉数三角形A008292号按1-例外枚举排列（列索引中偏移量为1）。
B） T（n，k）给出了群S_（n+1）中从2开始并具有k+1下降的置换数[Conger]。例如，在对称群S_4中，置换（2,1,4,3）和（2,4,3,1）以2开头，并有两个下降点，因此T（3,1。（结束）
T（n，k）给出了具有k+1特殊下降的群S_n中的置换数，其中特殊下降定义为正常下降或置换以1开始。例如，在对称群S_3中，置换（1,3,2）和（3,2,1）有2个特殊下降，因此T（3,1）=2，而置换（1,2,3）、（2,1,3）、-塔尼亚·霍瓦诺娃和Rich Wang（富王）2023年1月31日
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参考文献
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J.Riordan，《组合分析导论》，J.Wiley，1958年。
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链接
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J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013-2015。
D.Foata和M.Schutzenberger，欧洲波利尼姆博物馆，数学课堂笔记。，第138号，施普林格-弗拉格出版社，1970年；arXiv:math/0508232[math.CO]，2005年。
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配方奶粉
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T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*（k+1-j）*二项式（n+1，j）*（k+2-j）^（n-1）。生成函数F（x，y）：=Sum_{n>=0，k>=0}T（n+2，k）*（x^n/n！欧拉数A008292号注意偏移量S（n+1）和T（n+2）在其g.f.S的定义中。下面的Mathematica代码中给出了循环。
例如f.的形式是（A（x，t））^2=1+2*t+（4+2*x）*t^2/2！+（8+14*x+2*x^2）*t^3/3！+。。。，其中A（x，t）=（1-x）/（exp（t*x-t）-x）=1+t+（1+x）*t^2/2！+（1+4x+x^2）*t^3/3！+。。。是欧拉数的e.g.fA008292号。
定义行多项式R（n，x）：=Sum_{k=0..n-2}T（n，k）*x^k，然后x^2*R（n、x）=A（n，x）+（x-1）*A（n-1，x），其中A（n、x）是欧拉多项式。例如，当n=4时，R（4，x）=（1/x^2）*{（x+11*x^2+11*x^3+x^4）+（x-1）*（x+4*x^2+x^3）}=8+14*x+2*x^2。
行多项式也通过微分与欧拉多项式相关。例如，d/dx[（1+4*x+x^2）/（1-x）^4]=（8+14*x+2*x^2。
设p是对称群S_n中的置换。设cyc（p）表示p的圈数，而换位（2,1）有一个循环和一个例外，并对总和贡献2*x；因此R（3，x）=4+2*x。
R（n+1，x）=和{k=1..n}（k+1）*n=1,2，…时的箍筋2（n，k）*（x-1）^（n-k），。。。（见【Riordan p.214】）。
Worpitzky类型标识：
求和{k=0..n-2}T（n，k）*二项式（x+k，n）=x*（x-1）^（n-1）；
求和{k=0..n-2}T（n，n-2-k）*二项式（x+k，n）=（x-1）*x^（n-1）。（结束）
如果按照Knuth的欧拉数进行枚举(A173018型)预置了1，即作为1；2, 0; 4、2、0；8、14、2、0。。。对于0<=k<=n，数字具有递推性（k+2）*U（n-1，k）+（n-k）*U（n-1，k-1）-彼得·卢什尼2017年10月15日
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例子
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表格开始
否|0 1 2 3 4 5
----+---------------------------------
2 | 2
3 | 4 2
4 | 8 14 2
5 | 16 66 36 2
6 | 32 262 342 82 2
7 | 64 946 2416 1436 176 2
置换（5,1,4,2,3）在i=1和i=3时有较大的下降。T（3，1）=2计数（3，1,2）和（2，3,1）。
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枫木
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U:=proc（n，k）选项记住：如果k<0或k>n，则0 elif n=0，然后1 else（k+2）*U（n-1，k）+（n-k）*U#彼得·卢什尼2017年10月15日
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数学
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a[0,0]=1；a[1,0]=1；a[n，k]/；n<=1&k>=1:=0 a[n，k_]/；k> =n-1>=1|k<0:=0a[n_，k_]/；0<=k<=n-2：=a[n，k]=（k+1）和[a[i，k]，{i，0，n-1}]+和[（i-k）a[i、k-1]，{i，n-1{]表[a[n、k]、{n，0，10}，{k，0，Max[0，n-2]}]
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交叉参考
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关键词
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作者
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大卫·卡伦2006年7月14日，2006年9月25日
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状态
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经核准的
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