来自Don Zagier 1994年4月11日的电子邮件：（开始）
给定n，我们知道n个变量中的对称函数的域a_1，。..，a_n是字段Q（sigma_1，…，sigma_n），其中sigma_i是第i个初等对称多项式。这里没有选择，因为对于i>n和小于n的sigma，sigma_i=0是不够的。
但是，根据牛顿公式，该场也被给定为Q（s_1，…，s_n），其中s_i是第i次幂和，现在人们可以问是否还有其他序列s_{j_1}，。..，s_{j_n}（0<j_1<…<j_n）也有效。
对于n=1，唯一的可能性显然是s_1，因为当i>1时，Q（s_i）=Q（a^i）与Q（a）不一致，但对于n=2，有两种可能性Q（s_1、s_2）或Q（s1、s_3），因为从s_1=a+b和s_3=a^3+b^3可以重建s_2=（s_1^3+2s_3，/3s_1。
类似地，对于n=3，有（123）、（124）、（125）和（135）的可能性（最后一种情况下的公式是s_2=（s_1^5+5s_1^2s_3-6s_5）/5（s_1 ^3-s_3）；在其他情况下，可以很容易地找到相应的公式），对于n=4，有7:1234、1235、1236、1237、1245、1247和1357。
Kakutani的一个定理（我不知道参考文献）说，出现的序列正好是N的有限子集，其补码是可加半群（例如，{1,2,4,7}的补码是3,5,6,8,9，…，在加法下是闭合的）。
这是一个非常漂亮的定理。我编写了一个简单的程序来计算基数n的集合，这些集合具有n=1的问题属性。.., 16.（结束）
这个序列与数值半群有关，数值半群是基本的基本对象，但鲜为人知：数值半群S<N定义为：加法下闭，包含零，N\S是有限的。【约翰·麦凯，2011年6月9日】
Zagier在电子邮件中提到的定理是由于Kakeya，而不是Kakutani（见参考文献）。该定理指出，如果n个正整数序列k1，k2，。..，kn构成数值半群的补，然后幂和p_k1，p_k2，。..，pkn是n个变量中对称函数有理函数域的基础。卡基亚猜想对称函数的每一个幂和基都有这个性质，但这仍然是一个公开的问题。感谢用户Gjergji Zaimi对数学溢出的引用。【特雷弗·海德，2018年10月18日】
