%I M1064#191 2024年2月17日08:11:57

%S 1,1,2,4,7,12,23,39,671182043435921001169328574806804513467，

%电话：22464373966219410324617096328282846722477083212702672091030，

%电话：34378395646773926678815195070248962064076108766687201109032500

%亏格N的数值半群的个数；还推测了n个变量中对称函数的幂和基的个数。

%C来自Don Zagier 1994年4月11日的电子邮件：（开始）

%给定n，我们知道n个变量a_1，…，中对称函数的域，。。。，a_n是字段Q（sigma_1，…，sigma_n），其中sigma_i是第i个初等对称多项式。这里没有选择，因为对于i>n和小于n的sigma，sigma_i=0是不够的。

%C但是，根据牛顿公式，该场也被给定为Q（s_1，…，s_n），其中s_i是第i次幂和，现在可以问其他序列s_{j_1}，。。。，s_{j_n}（0<j_1<…<j_n）也有效。

%C对于n=1，唯一的可能性显然是s_1，因为当i>1时，Q（s_i）=Q（a^i）与Q（a）不一致，但对于n=2，有两种可能性Q（s_1、s_2）或Q（s1、s_3），因为从s_1=a+b和s_3=a^3+b^3可以重建s_2=（s_1^3+2s_3，/3s_1。

%C类似地，对于n=3，有可能（123）、（124）、（125）和（135）（最后一种情况下的公式为s_2=（s_1^5+5s_1^2s_3-6s_5）/5（s_1^3-s_3）；在其他情况下，可以很容易地找到相应的公式），对于n=4，有7:1234、1235、1236、1237、1245、1247和1357。

%Kakutani的一个定理（我不知道参考文献）说，出现的序列正好是N的有限子集，其补码是加法半群（例如，{1,2,4,7}的补码是3,5,6,8,9，…，在加法下是闭合的）。

%这是一个非常漂亮的定理。我编写了一个简单的程序来计算基数n的集合，这些集合具有n=1。。。，16.（结束）

%C这个序列与数值半群有关，它们是基本的基本对象，但鲜为人知：数值半群S<N定义为：在加法下闭合，包含零，并且N\S是有限的。【约翰·麦凯，2011年6月9日】

%C Zagier在电子邮件中提到的定理是由于Kakeya，而不是Kakutani（见参考文献）。该定理指出，如果n个正整数序列k1，k2，。。。，kn构成数值半群的补，然后幂和p_k1，p_k2，。。。，pkn是n变量对称函数有理函数域的基础。卡基亚猜想对称函数的每一个幂和基都有这个性质，但这仍然是一个公开的问题。感谢用户Gjergji Zaimi对数学溢出的引用。【特雷弗·海德，2018年10月18日】

%D Sean Clark、Anton Preslicka、Josh Schwartz和Radoslav Zlatev，关于复曲面理想族的一些组合猜想：来自MSRI 2011交换代数研究生研讨会的报告。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Daniel Zhu，n表，n=0..75的a（n）

%H马修斯·贝尔纳迪尼，<a href=“https://arxiv.org/abs/1906.07310“>通过Kunz坐标向量按亏格甚至间隙计算数值半群</a>，arXiv:1906.07310[math.CO]，2019。

%H马修斯·贝尔纳迪尼和吉尔伯托·布里托，<a href=“https://arxiv.org/abs/2106.13296“>关于纯k稀疏间隙集，arXiv:2106.13296[math.CO]，2021。

%H马修斯·贝尔纳迪尼和费尔南多·托雷斯，<a href=“https://arxiv.org/abs/1612.01212“>按亏格和偶数间隙计算数值半群</a>，arXiv:1612.01212[math.CO]，2016-2017。

%H马修斯·贝尔纳迪尼和费尔南多·托雷斯，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2017.08.001“>按亏格和偶数间隙计算数值半群</a>，《离散数学》340.12（2017）：2853-2863。

%H马修斯·贝尔纳迪尼和帕特里克·梅洛，<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.07694“>关于Eliahou和Fromentin定理的简短注释，arXiv:22022.07694[math.CO]，2022。

%H Victor Blanco和Justo Puerto，<a href=“http://arxiv.org/abs/0901.1228“>使用生成函数计算数值半群的数量，arXiv:0901.1228[math.CO]，2009。

%H Maria Bras-Amorós，<a href=“http://crises-deim.urv.cat/~mbras/“>主页

%H Maria Bras-Amorós，<a href=“http://www.singa.com.uva.es/oldsite/seminarios/WorkshopSG/workshop/Bras_SG_2007.pdf“>代数几何、编码和计算，西班牙塞戈维亚，2007年。

%H Maria Bras-Amorós，<a href=“https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/schedule_slides.html“>IMNS 2018年，西班牙格拉纳达，2008年。

%H Maria Bras-Amorós，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s00233-007-9014-8“>给定亏格的数值半群数的类斐波那契行为，半群论坛，76（2008），379-384。请参见<a href=“https://arxiv.org/abs/1706.05230“>同样</a>，arXiv:1706.05230[math.NT]，2017年。

%H Maria Bras-Amorós，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.012“>给定亏格的数值半群数的界，《纯粹与应用代数杂志》，第213卷，第6期（2009年），第997-1001页。arXiv:0802.2175。

%H Maria Bras-Amorós和s.Bulygin，<a href=“http://arxiv.org/abs/0810.1619“>更好地理解半群树，arXiv:0810.1619[math.CO]，2008；<a href=”http://dx.doi.org/10.1007/s00233-009-9175-8“>半群论坛79（2009）561-574。

%H Maria Bras-Amorós和A.de Mier，<A href=“http://arxiv.org/abs/math/0612634“>Dyck Paths对数值半群的表示</a>，arXiv:math/0612634[math.CO]，2006；<a href=”http://dx.doi.org/10.1007/s00233-007-0717-7“>半群体论坛75（2007）676-681。

%H Maria Bras-Amorós和J.Fernández-González，<a href=“https://arxiv.org/abs/1607.01545“>arXiv版本，arXiv:1607.01545[math.CO]，2016-2017；<a href=”https://doi.org/10.1090/mcom/3292“>通过种子计算数值半群，计算数学87（313），美国数学学会，2539-25502018年9月。

%H Maria Bras-Amorós和J.Fernández-González，<a href=“https://doi.org/10.1090/mcom/3502“>数值半群的右生成子</a>，Math.Comp.89（2020），2017-2030。arXiv:<a href=“https://arxiv.org/abs/1911.03173“>1911.03173</a>[math.CO]。

%H CombOS-组合对象服务器，<a href=“http://combos.org/sgroup.html“>生成数值半群</a>

%H Manuel Delgado、Shalom Eliahou和Jean Fromentin，<a href=“https://arxiv.org/abs/2310.07742“>Wilf猜想到亏格100的验证，arXiv:2310.077422023。

%H Shalom Eliahou和Jean Fromentin，<a href=“http://images.math.cnrs.fr/Semigroupes-numeriques-et-nombre-d-or-I.html“>Semigroupes Numériques et Nombre d'or，数学图像，CNRS，2018年。法语。

%H Sergi Elizalde，<a href=“http://arxiv.org/abs/0905.0489“>给定亏格的数值半群数的改进界</a>，arXiv:0905.0489[math.CO]，2009。【玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，2009年9月1日】

%H G.Failla、C.Peterson和R.Utano，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s00233-015-9690-8“>N^d中广义数值半群的算法和基本渐近性，半群论坛，2015年1月31日，DOI 10.1007/s00233-015-9690-8。

%H吉尔伯托·B·阿尔梅达·菲略和马修斯·贝尔纳迪尼，<a href=“https://arxiv.org/abs/2208.07692“>间隙集和k-广义斐波那契序列，arXiv:2208.07692[math.CO]，2022。

%H S.R.Finch，<a href=“http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/“>自然数的幺半群</a>

%H S.R.Finch，自然数的单体，2009年3月17日。[经作者许可，缓存副本]

%H Jean Fromentin，<a href=“http://arxiv.org/abs/1305.3831“>探索数值半群树，arXiv:1305.3831[math.CO]，2013-2015。请参见<a href=“https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00823339“>也</a>，hal-00823339。

%H Jean Fromentin和Shalom Eliahou，<a href=“http://images.math.cnrs.fr/Semigroupes-numeriques-et-nombre-d-or-II.html“>Semigroupes numériques et nombre d'or（II）</a>，（法语），数学图像，CNRS，2018年。

%H Jean Fromentin和Florent Hivert，<a href=“https://doi.org/10.1090/mcom/3075“>探索数值半群树，Math.Comp.85（2016），2553-2568。

%H Florent Hivert，<a href=“https://dx.doi.org/10.1145/3115936.3115938“>枚举和代数组合数学中的高性能计算实验，PASCO 2017年并行符号计算国际研讨会论文集，第2条。

%H Trevor Hyde，<a href=“https://mathoverflow.net/questions/310210/reference-for-kakutani-result-on-power-sum-bases-of-symmetric-functions网站“>Zagier电子邮件中提到的结果参考的数学溢出帖子</a>

%H S.Kakeya，<a href=“https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_69“>关于对称函数的基本系统</a>，日本数学杂志，2，（1925），69-80。

%H S.Kakeya，<a href=“https://doi.org/10.4099/jjm1924.4.0_77“>关于对称函数的基本系统Ⅱ</a>，日本数学杂志，4，（1927），77-85。

%H Nathan Kaplan，<a href=“https://arxiv.org/abs/1707.02551“>计算数值半群</a>，arXiv:11707.02551[math.CO]，2017。也是Amer。数学。月刊，124（2017），862-875。

%H Jiryo Komeda，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/PL00005972“>非Weierstrass数值半群。半群论坛57（1998），第2期，157-185。【玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，2009年9月1日】

%H Nivaldo Medeiros，<a href=“http://www.impabr网站/~nivaldo/algebral/semigroups/index.html“>数值半群</a>

%H Alex Zhai，<a href=“https://doi.org/10.1007/s00233-012-9456-5“>给定属的数值半群的斐波那契增长，半群论坛，86（2013），634-662。另请参阅arXiv:<a href=“https://arxiv.org/abs/1111.3142“>1111.3142</a>[math.CO]，2011年。

%H Y.Zhao，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s00233-009-9190-9“>构造给定亏格的数值半群，半群论坛80（2010）242-254。

%H Daniel G.Zhu，<a href=“https://doi.org/10.5070/C63261988“>数值半群枚举中的Sub-Fibonacci行为，Comb.Theory 3（2）（2023），#10。arXiv:<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.05755“>2202.05755</a>[math.CO]，2022-2023。

%H<a href=“/index/Se#semigroups”>与半群相关的序列的索引项</a>

%F猜想：A）A（n）>=A（n-1）+A（n-2）；B） a（n）/（a（n-1）+a（n-2））接近1；C） a（n）/a（n-1）接近黄金比例；D） a（n）>=a（n-1）。M.Bras-Amorós于2007年在西班牙塞戈维亚举行的代数几何、编码和计算研讨会上以及2008年在西班牙格拉纳达举行的2018年IMNS上提出了猜想A、B、C、D。猜测A、B、C随后在半群论坛上发表，76（2008），379-384。翟，2011年证明了猜想B和C_Maria Bras Amorós_，2007年10月24日，2009年8月31日更正

%e G.f.=x+2*x^2+4*x^3+7*x^4+12*x^5+23*x^6+39*x^7+67*x*8+。。。

%e a（1）=1，因为亏格为1的唯一数值半群是N\{1}

%e a（3）=4，因为亏格为3的四个数值半群是N\{1,2,3}、N\{1,2,4}、N\{1,2,5}和N\{1,3,5}

%Y行合计A199711。[由Jonathan Sondow更正，2017年11月5日]

%K诺恩，不错

%0、3

%唐·扎吉尔（唐·扎吉尔（AT）mpim bonn.mpg.de），1994年4月11日

%E从a（17）到a（52）的术语由Maria Bras-Amorós（Maria.Bras（AT）gmail.com）于2007年10月24日提供（在半群的上下文中）。计算是在Jordi Funollet和Josep M.Mondelo的帮助下完成的。

%E术语a（53）-a（60）摘自Fromentin（2013）论文_N.J.A.Sloane，2013年9月5日

%E术语a（61）至a（70）取自https://github.com/hivert/NumericMonoid。

%E术语a（71）和a（72）由J.Fernández-González和_Maria Bras-Amorós计算得出。

%E术语a（73）至a（75）摘自Delgado等人（2023）的论文_Daniel Zhu，2024年2月16日