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追逐曲线

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如果A类沿着已知曲线移动，然后P（P）描述了追踪曲线，如果P（P）总是指向A类和A类和P（P）以匀速移动。考虑了追踪曲线1732年，法国科学家皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）和后来的英国数学家布尔。

数学天才Charlie Eppes在第二季第二集中暗指了“路径最小化”这个名字深色物质“电视犯罪剧编号3RS当考虑到神秘的第三个枪手的行动时。

追踪方程如下所示

（A-P）/（|A-P|）·（P^.）/（| P^.|）=1，
（1）

它指定切线向量在点P（P）始终与连接线平行A类和P（P），与结合

P^·P^=1,
(2)

它指定点P（P）以恒定速度移动（在不损失通用性的情况下作为上述统一）。堵塞(2)到(1)因此给予

（（A-P）·P^.）/（|A-P|）=1。
(3)
直线垂直路径的追踪曲线

案例限制A类阿瑟·伯恩哈特（MacTutor Archive）对直线进行了研究。采取参数方程A（t）=（0，t）和点的方程P（P）成为P=（x，y），给出了该问题的运动方程通过

1/（平方（x^2+（t-y）^2））[0-x；t-y]·[x^.；y^.]=1
(4)

和

x ^^2+y^^2=1.
（5）

垂直和重新排列(4)给予

[（t-y）y^.-xx^.]^2=x^2+（t-y）^2。
(6)

扩展提供

x^2（x^.^2-1）+2x（y-t）x^.y^+（t-y）^2（y^.^2-1）=0，
(7)

可以使用(5)至

x^2y^^2+2x（t-y）x^.y^+（t-y）^2x^^2=0.
(8)

但这是一个完美的正方形，

[xy^.+（t-y）x^.]^2=0，
(9)

所以取两边的平方根

xy^+（t-y）x ^=0
(10)

这个方程可以转换为年作为的函数x个通过将两边除以x ^。，给予

xy^'+t-y=0，
(11)

哪里y^'=y^/x ^=（dy/dt）/（dx/dt）=dy/dx.为了消除t吨,注意，经过的弧长P（P）由提供

s=intsqrt（1+y^（'2））dx=tv=t，
(12)

自从v=1是这个问题的常数，所以(11)成为

xy^'-y-intsqrt（1+y^（'2））dx=0。
（13）

然后微分得到一个二阶常微分方程

xy^（''）-sqrt（1+y^（'2））=0
(14)

可以通过分析得到

y=c1+c2x^2-（lnx）/（8c2）。
(15)

正如所料，中的解决方案包含两个任意常数c1和二氧化碳其值由初始条件确定。

粒子开始于的初始条件（x0，y0）时间t=0由提供

y（x0）=y_0（零）
(16)
（dy）/（dx）|（x0）=（y_0）/（x_0）。
(17)

将这些插入(15)，求解c1和二氧化碳，并将结果插入(15)给出了完整的解决方案

y=1/4[（y_0+r_0）eta+（y_0-r_0）lneta+3y_0-r-0]，
(18)

哪里

埃塔=（x/（x0））^2
(19)
r_0（零）=平方码（x0^2+y0^2）。
(20)

The point at which the年-组件属于P（P）的运动改变方向（对应至少y（x）,哪里P（P）转弯并从后面开始跟随追逐点）可以通过区分找到(18)关于x个，设置为0，并求解x个。结果是

x^*=x0平方（（r_0-y_0）/（r_0+y_0。
(21)

插入并简化提供了相应的年-坐标，

y^*=（x_0y_0+2r_0y_0-r_0x_0）/（2（r_0+x_0））+1/4（y_0-r_0）ln（（r_0-x_0）/（r_0+x_0））。
(22)

也可以用封闭形式表示解决方案x（吨）和y（吨）.堵塞(◇) 到(◇) 并解决t吨给予

t=xy^'-y=1/4[（eta-1）（r0+y0）+（r0-y0）lneta]，
(23)

可以根据Lambert W函数以获得

x（t）=x_0sqrt（（W（chie^（chi-4t/（r_0-y_0）））/chi），
(24)

哪里

chi=（r0+y0）/（r0-y0）。
(25)

将此代入以下等式y（x）然后给出

y（t）=1/4[3y_0-r_0+（y_0-r-0）ln（（W（chie^（chi-4t/（r_0-y_0））））/chi）+（y_0+r_0）（W（chee^。
(26)
圆圈外在圆圈之外
在圆的外面，所以曲线在里面切圆圈内部

上图显示了A类以恒定速度绕着圆圈运动。

问题是n个老鼠（或狗）从正多边形的角开始向每个其他被称为老鼠问题.

另请参见

阿波罗纽斯追捕问题,Brocard积分,小鼠问题,拖拉机,拖网渔船问题,旋转

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工具书类

J.C.巴顿。和Eliezer，C.J。“追逐曲线。”J.澳大利亚。数学。Soc.序列号。B类 41, 358-371, 2000.伯恩哈特，A.“追求曲线”脚本数学。 20, 125-141, 1954.伯恩哈特，A.“追求的曲线II。”脚本数学。 23, 49-65, 1957.伯恩哈特，A.“追求的多边形”脚本数学。 24, 23-50, 1959.伯恩哈特，A.“总体追求曲线”脚本数学。 24, 189-206,1959MacTutor数学历史档案。“追求曲线。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Pursuit.html.西蒙斯，G.F.公司。差速器方程式、应用和历史笔记。纽约：McGraw-Hill，1972D.E.史密斯。历史数学，第2卷：初等数学专题。新建约克：多佛，第327页，1958年。威尔斯，D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦：企鹅，第201-202页，1991年。R.C.耶茨。“追求曲线。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡：J.W。Edwards，第170-171页，1952年。

参考Wolfram | Alpha

追逐曲线

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“追求曲线”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

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