引入牛顿冷却定律的新方法
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作者：纽约州立大学波茨坦分校Joel S.Foisy
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几个学期以来，我一直在通过Smith和Moore的项目CALC冷却体场景向微积分学生介绍牛顿冷却定律（在《微积分：建模与应用》（1996）Houghton Mifflin）。在他们的书中，史密斯和摩尔描述了一个谋杀案的谜团，而缩小嫌疑犯名单的唯一方法是使用牛顿冷却定律。这种方法，再加上辛普森案长达数月的轰击，激励我让我的学生表演他们自己的谋杀场景，而不是读一个假设的场景。我把这称为“学期试验”。我请一名学生自愿成为被告。这个学生被指控谋杀了上学期的数学老师。然后我把其他学生分成几个小组：起诉小组、辩护小组、媒体小组和陪审团。除陪审团外，所有团队的成员不得超过3人，并且这些团队的成员都必须在法庭上发言。这在小班中效果最好，因为大多数学生都有机会向同学讲话。我向我的微分方程班展示了以下场景，他们于上午8点到8点50分在MWF上开会。
1996年10月7日星期一上午9点10分，史蒂夫的Calc II老师的尸体被Crumb Library发现。死亡原因被确定为注射了一种进入血液后立即导致死亡的物质。注射器是在现场发现的，上面有史蒂夫的指纹。不用说，史蒂夫是首要嫌疑人。事实上，当天上午9点，两名可靠的目击者在图书馆附近看到了史蒂夫。Steve在微分方程课上的不在场证明可以被证实，但只能在8:00到8:50之间。本次审判的目的是利用牛顿冷却定律确定史蒂夫的无罪或有罪。换句话说，您将尝试确定犯罪是否发生在上午8:50之后。
其他事实：
- 史蒂夫在一家制药实验室工作，处理很多注射器，所以注射器上不太可能有他的指纹。
- 由于多个实验室错误，本案中的所有DNA证据均被丢弃。
- 上午9点10分，教授的体温为96度。上午9点16分再次记录体温，结果为95度。（教师可以修改时间和温度读数。）
- 周一早上的官方温度记录为上午8点30度，上午9点35度。
- 谋杀案发生前三天，这位教授去看了一位医生，当时他的体温被准确记录为101度。
- 谋杀案发生的那天早上，在上班前，这位教授写了以下日记：“自从我有了那个可怕的Calc II学生，他叫什么名字，是斯科特吗？在过去的几天里，我发烧得很厉害。我今天终于感觉好多了，不是100%，但几乎恢复了正常。”
然后，我给每个团队一个简短的解释，说明对他们的期望。例如，我告诉起诉小组以下情况：“你将是第一个正式出席庭审的人。你想在陪审员的脑海中确定史蒂夫的有罪。你将使用牛顿冷却定律来做到这一点。你还想在开场辩论中预测辩护团队的论点。对于项目的书面部分，使用牛顿定律写出计算结果冷却定律，你用来估计死亡时间。此外，包括你将用来起诉Steve的任何其他论点（尽可能坚持数学论点）。"
我还告诉每个团队以下演示顺序：
- 媒体评论员阅读了事实，并做了一个解释牛顿冷却定律的演讲。
- 起诉。
- 媒体评论员。
- 防守。
- 媒体评论员。
- 起诉结束论据。
- 防御-关闭论点。
- 媒体评论员和陪审团裁决。
媒体团队负责以公众能够理解的方式介绍牛顿冷却定律。检方可能会试图证明，如果模型的假设是正确的，并且假设教授死亡时的体温为98.6，那么史蒂夫似乎有罪。然后，辩护小组可能会抨击教授死亡时体温为98.6度的假设，或外界温度恒定的假设。真正由学生决定攻击哪些细节。
我已经两次使用这个审判，给学生们大约一个星期的准备时间，还有一些课堂上的准备时间。在这两个案件中，被告都被判无罪。我不会告诉学生该做什么决定；他们的判断必须完全基于同龄人的论点。我第一次在一个30名学生的第一学期微积分课上使用这个实验，大多数学生都做得很好。这位辩护律师魅力四射，口才过人，我不确定他是否会放弃发言权。学生们真正展示了对牛顿冷却定律的理解。第二次，我在一个小的微分方程导论课上使用了这个实验。这一次，演讲没有那么精彩。检方小组得出的温度并没有稳定下降，显然他们犯了某种计算错误。这让主持人暂时感到尴尬。此外，辩护律师很难区分模型给出的温度和人体的实际温度。在这两种情况下，进行试验的经验有助于学生更好地理解在建立数学模型时简化假设的含义。学生们的准备程度和公开演讲能力都影响着法庭案件的顺利进行。第一次试验持续了大约30分钟，而第二次试验则持续了整整50分钟的课堂时间。在每一个案例中，学生学习了如何在团队导向的环境中使用数学作为工具，并在同龄人面前展示了他们的理解（或缺乏理解）。
乔尔·福西
纽约州立大学波茨坦学院数学系
纽约波茨坦13676-3176
foisyjs@potsdam.edu
这个创新教学交流由编辑邦妮·戈尔德.
