注：本页属于我的“未完成的投机笔记”系列。原始版本是我申请Wolfram Research Pisa 2009 NKS暑期学校的一部分。
目标
为所有人开发良好的枚举形式二叉树上的“简单”双射。
这里，“二叉树的简单双射”指本质上可以实现为Lisp/Scheme-函数的任何东西，该函数可以依次检查二叉树（作为参数给出）的任何分支，并根据哪些顶点是叶子（即零符号），哪些是内部顶点（cons-cell对），采取不同的操作，可能递归调用自身，或以类似方式定义的任何其他此类双射。然而，除了可以通过使用参数树本身的某个分支作为这样的临时容器进行编码之外，对于任何辅助数据结构，如额外的堆栈（除了启用递归的隐式堆栈）或队列，都没有明确的支持，用于存储参数树的子树。
要求
最重要的是，形式主义应该能够表示A089840号以及在其递归派生表中A122200型-A122204号,A122283号-A122290号和A130400个-A130403型.此外，还应该可以表达像这样的共同递归情况，实现Callan的2006双射[1]:
（定义(*A127378号! s）（cond（（null？s））（（空？（cdr））(*A069770号! s）(*A127378号! （cdr））（（空？（车））(*A069770号! s）(*A127380号! （汽车））（否则(*A127380号! s） ）)秒)（定义(*127380英镑! s） （每个人）*A127378号! s） s）
以及（这里，共递归双射是相互逆的）：
（定义(*A120705号! s）（秒（对）(*A074680号! s）(*2005年12月! （汽车）（第二个（配对？（cdr））(*2005年12月! （cddr）(*A120706号! （卡德尔）))))秒)（定义(*A120706号! s）（秒（对）(*A074679号! s）(*A120706号! （cdr）（第二个（配对？（汽车））(*A120706号! （卡亚尔）(*A120705号! （cdar）))))秒)
注意，后一个条件也意味着自同构群的所有元素
将包括在内。
此外，形式主义应该能够将这种“混合”非递归/递归双射定义为*A082335号和它的逆*A082336号.
然而，形式主义不需要能够表达如此复杂的双宾语作为Meeussen的宽度第一个<->深度第一个转换双投影，用于二叉树A057117号/A057118号和一般树木A072088型/A072089号，Kreweras 1970年在Dyck路径上的内卷，A125976号（很可能），Vaille 1997年关于“桥梁”（Dyck paths）的双投影，A125985号或Elizalde和Deutsch 2003年对Dyck路径的双投影，A127291号/A127292号[2].
是否可以定义非交叉握手180度旋转,A069771号，我不确定。因此，实际上，这将给我们提供许多不错的研究项目，以找到这种形式主义的可表达性的极限。
这种形式主义的一个起点可能是花环递归定义如Bondarenko、Grigorchuk等人[3],但是以这样一种方式扩展它，它可以采取不同的“递归路径”取决于叶的附近，在哪里，而不仅仅是修复或交换选项任何给定状态的子树，任何可能的“简单双射”可以在该点应用，如预订单、订单内订单或订单后订单对递归分支的遍历。（例如，这类似于原始递归函数仅使用“复合”运算符进行归纳构造，并且“递归组合”，从简单的后继函数和投影函数开始。）在这种情况下，归纳法从“基本要素”开始，将是非递归双射（即。A089840号)，或如果可以证明它们是相同的，则为它们的子集表达能力。
无论如何，我们需要在表达能力/通用性与冗余性，还要注意形式主义分配的“足够小”许多重要且有趣的双命题的索引（我称之为“实际可枚举性”）。
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