欧拉数，三角形

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这个欧拉数三角形也称为欧拉三角形. The欧拉数是中的系数欧拉多项式. The欧拉数也是排列数第{1、2、…、。。，${\显示样式\脚本样式n\，}$}带有$｛\displaystyle\scriptstyle k\，｝$攀登。欧拉多项式出现在生成函数权力的(正则正交数的生成函数)

$显示样式G{{n^{d}}（x）={frac{x\A{d}（x）}{（1-x）^{d+1}}}，\，}$

哪里

$显示样式A_{d}（x）=\sum_{k=0}^{d} A类（d，k）\x^{k}，\d\geq0，\，}{d} A类（d，k）\x^{k}，\d\geq0，\，}$

是${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个 欧拉多项式（有学位$｛\displaystyle\scriptstyled-1\，｝$对于${\显示样式\脚本样式d\，\geq\，1\，}$)[1]谁的欧拉数

$显示样式A（d，k）|_{k=0}^{d}=\{1，（2^{d} -d-1日),...,（2）^{d} -d-1日)，1,0^{d}\}，\d\geq 0，\，}{d} -d-1日),...,（2）^{d} -d-1日)，1,0^{d}\}，\d\geq 0，\，}$

可以使用递归生成欧拉数三角形.

在以下内容中，${\显示样式\脚本样式n\，}$将用于欧拉多项式及其相关联的欧拉数（而不是${\显示样式\脚本样式d\，}$用于上面使用的正交数的尺寸），以便遵循数字三角形的传统符号。

欧拉三角形

欧拉数三角形的矩形形式

n=0	1
1	1	0
2	1	1	0
3	1	4	1	0
4	1	11	11	1	0
5	1	26	66	26	1	0
6	1	57	302	302	57	1	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0
10	1	1013	47840	455192	1310354	1310354	455192	47840	1013	1	0
11	1	2036	152637	2203488	9738114	15724248	9738114	2203488	152637	2036	1	0
12	1	4083	478271	10187685	66318474	162512286	162512286	66318474	10187685	478271	4083	1	0
	k=0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

递归规则

$｛\displaystyle A（0,0）=1，\，｝$

${显示样式A（n，k）=（n-k）\A（n-1，k-1）+（k+1）\A$

其中三角形外的空单元格被视为零值。

公式

这个欧拉数等于排列数的{1，2。。，${\显示样式\脚本样式n\，}$}带有${\显示样式\脚本样式k\，}$上升

${显示样式A（n，k）=左\langle{n\top k}\right\rangle=\sum_{j=0}^{k}（-1）^{j}{\binom{n+1}{j}}（k-j+1）^{n}.\，}$

欧拉数三角形行

欧拉数三角形行条目给出了有限序列的无限序列

{{1}, {1, 0}, {1, 1, 0}, {1, 4, 1, 0}, {1, 11, 11, 1, 0}, {1, 26, 66, 26, 1, 0}, {1, 57, 302, 302, 57, 1, 0}, {1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 0}, {1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 0}, {1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 0}, {1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1, 0}, ...}

欧拉数三角形行项的有限序列的无限序列的串联给出了无限序列(A173018型)

{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 11, 11, 1, 0, 1, 26, 66, 26, 1, 0, 1, 57, 302, 302, 57, 1, 0, 1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 0, 1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 0, 1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 0, 1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1, 0, ...}

没有最后一个零值条目的行（来自${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$到${\显示样式\脚本样式n-1\，}$对于${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，1\，}$)相对于中心对称${\显示样式\脚本样式{\大（}{\frac{n-1}{2}}{\大）}\，}$，即。

${显示样式A（n，k）=A（n、（n-1）-k），\n\geq 1，\0\leq k\leq n-1.，}$

欧拉数三角形行非零项(${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$条目${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$，个条目来自${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$到${\显示样式\脚本样式n-1\，}$对于${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，1\，}$)给出有限序列的无限序列

{{1}, {1}, {1, 1}, {1, 4, 1}, {1, 11, 11, 1}, {1, 26, 66, 26, 1}, {1, 57, 302, 302, 57, 1}, {1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1}, {1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1}, {1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1}, {1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1}, ...}

欧拉数三角形行非零项的有限序列的无限序列的串联给出了无限序列：(A008292号${\显示样式\脚本样式（i）\，}$,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，1\，}$，1用于${\显示样式\脚本样式i\，=\，0\，}$预置）

{1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 11, 1, 1, 26, 66, 26, 1, 1, 57, 302, 302, 57, 1, 1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1, ...}

欧拉数三角形行和

相应有限序列的和给出了无限序列(A000142号${\显示样式\脚本样式（i）\，}$,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$)

{1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, ...}

由公式给出的成员

$｛\displaystyle\sum_｛k=0｝^{n} A类（n，k）=n！，\n \geq 0，\，}{n} A类（n，k）=n！，\n \geq 0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式A（n，n）\，=\，0，\，\geq\，1.\，}$

这意味着${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，0\，}$,欧拉多项式，评估时间${\显示样式\脚本样式x\，=\，1\，}$，给出${\显示样式\脚本样式n\，}$!:

$显示样式A{n}（x）|{x=1}={{bigg\{}\sum_{k=0}^{n} A类（n，k）\x^{k}{\bigg\}}{\bigg|}_{x=1}=n！，\n \geq 0，\，}{n} A类（n，k）\x^{k}{\bigg\}}{\bigg|}_{x=1}=n！，\n \geq 0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式A（n，n）\，=\，0，\，\geq\，1.\，}$

欧拉数（矩形）三角形列

列序列表

这个${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个,$｛\displaystyle\scriptstyle i\，\geq\，0\，｝$，列的成员${\显示样式\脚本样式k\，}$出现在行中${\显示样式\脚本样式k+i\，}$.

欧拉数三角形列序列

${\显示样式k\，}$	${\显示样式A（k+i，k），\i\geq 0\，}$序列	A编号
0	｛1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1…｝	A000012号
1	{0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, ...}	A000295号
2	{0, 1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 41932745, 126781020, 382439924, 1151775897, 3464764515, ...}	A000460号
3	{0, 1, 26, 302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912, 3572085255, 14875399450, 61403313100, 251732291184, ...}	A000498号
4	{0, 1, 57, 1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474, 423281535, 2571742175, 15041229521, 85383238549, 473353301060, 2575022097600, 13796160184500, ...}	A000505号
5	{0, 1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928, 782115518299, 5717291972382, 40457344748072, 278794377854832, ...}	A000514号
6	{0, 1, 247, 14608, 455192, 9738114, 162512286, 2275172004, 27971176092, 311387598411, 3207483178157, 31055652948388, 285997074307300, 2527925001876036, ...}	A001243号
7	{0, 1, 502, 47840, 2203488, 66318474, 1505621508, 27971176092, 447538817472, 6382798925475, 83137223185370, 1006709967915228, 11485644635009424, ...}	A001244号
8	{0, 1, 1013, 152637, 10187685, ...}	A？？？？？？
9	{0, 1, 2036, 478271, ...}	A？？？？？？
10	{0, 1, 4083, ...}	A？？？？？？
11	{0, 1, ...}	A？？？？？？

列序列相关公式表

这个${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$，列的成员${\显示样式\脚本样式k\，}$出现在行中${\显示样式\脚本样式k+i\，}$.

欧拉数三角形列序列的相关公式

$｛\displaystyle k\，｝$	公式 ${\显示样式A（k+i，k）=\，}$ $｛\displaystyle\，｝$	生成 功能 对于${\显示样式\脚本样式i\，}$ 第个(${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$) 立柱构件 ${\显示样式G_{A}（k，x）=\，}$ ${\显示样式\，}$	订单 的基础 ${\显示样式g_{A}（k）=\，}$	差异 ${\显示样式A（k+i，k）-\，}$ ${\显示样式A（k+i-1，k）=\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{i=1}^{m} A类（k+i，k）=\，}{m} A类（k+i，k）=\，}$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{1\over{A（k+i，k）}}=\，}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{1\over{A（k+i，k）}}=\，}$
0	${\显示样式1\，}$	${\显示样式{\frac{1}{1-x}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
1	${\显示样式2^{i+2}-（i+2）-1\，}$	${\显示样式{\frac{x}{（1-x）^{2}（1-2x）}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
2	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle｛\frac｛x（1+x-4x^｛2｝）｝｛（1-x）^｛3｝（1-2x）^｛2｝（1-3x）｝\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
3	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
4	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$
5	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
6	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
7	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
8	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
9	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
10	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
11	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$

欧拉数（矩形）三角形下降对角线

0^第个（从右边）对角线下降给出了顺序(A000007号)

{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

由公式给出

${\显示样式A（n，n）=0^{n}，\n\geq 0，\，}$

具有生成函数

$显示样式G_{A（n，n）}}（x）=1，\n\geq0.，}$

三角形行是对称的（如果我们排除零值条目$｛\displaystyle\scriptstyle A（n，n），\n\，\geq\，1\，｝$)${\显示样式\脚本样式（k+1）\，}$^第个（从右侧）下降对角线与${\显示样式\脚本样式k\，}$^第个列，具有${\显示样式\脚本样式k\，\geq\，0\，}$.

下降对角线序列表

请参阅列序列表。

下降对角线序列相关公式表

参见列序列相关公式表。

欧拉数三角形中间和中心元素

这个欧拉数三角形中间元素或最大欧拉数（第页，共页${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$到${\显示样式\脚本样式n-1，\ n\，\geq\，1\，}$)，是{1，2，..的排列数。。，${\显示样式\脚本样式n\，}$}带有${\displaystyle\scriptstyle{\big\lfloor}{\frac{n}{2}}{\big/rfloor}\，}$上升(A006551号)

{1, 1, 4, 11, 66, 302, 2416, 15619, 156190, 1310354, 15724248, 162512286, 2275172004, 27971176092, 447538817472, 6382798925475, 114890380658550, 1865385657780650, 37307713155613000, ...}

由公式给出

${\显示样式T（n，{\bigg\lfloor}{\frac{n}{2}}{\big\rfloor}）=A{j}}{\bigg（}{\bigg\lfloor}{\frac{n}{2}}{\ bigg\rfloor}-j+1{\big）}^{n}，\，}$

哪里

$显示样式A（n，k）=\sum_{j=0}^{k}（-1）^{j}{\binom{n+1}{j}}（k-j+1）^{n}.\，}$

这个欧拉数三角形中心元素（第页，共页${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$到${\显示样式\脚本样式n，\ n\，=\，2m，\ m\，\ geq\，0\，}$)，是排列的数量${\显示样式\脚本样式A（2m，m）\，}$第{1、2、…、。。，$｛\displaystyle\scriptstyle 2m\，｝$}带有${\显示样式\脚本样式m\，}$上升(A180056号)

{1, 1, 11, 302, 15619, 1310354, 162512286, 27971176092, 6382798925475, 1865385657780650, 679562217794156938, 301958232385734088196, 160755658074834738495566, ...}

由公式给出

$显示样式T（2m，m）=A（2m，m）=\sum_{j=0}^{m}（-1）^{j}{\binom{2m+1}{j}}（m-j+1）^{2m}，\，}$

哪里

$显示样式A（n，k）=\sum_{j=0}^{k}（-1）^{j}{\binom{n+1}{j}}（k-j+1）^{n}.\，}$

这个欧拉数三角形中心元素（第页，共页${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$到${\显示样式\脚本样式n，\ n\，=\，2m-1，\ m\，\ geq\，0\，}$)，是排列数${\显示样式\脚本样式A（2m-1，m）\，}$第{1、2、…、。。，${\显示样式\脚本样式2m-1\，}$}带有${\显示样式\脚本样式m\，}$上升(A025585号)

{1, 4, 66, 2416, 156190, 15724248, 2275172004, 447538817472, 114890380658550, 37307713155613000, 14950368791471452636, 7246997577257618116704, 4179647109945703200884716, ...}

由公式给出

$｛\displaystyle T（2m-1，m）=A（2m-1，m）=\sum_｛j=0｝^｛m｝（-1）^｛j｝｛\binom｛2m｝｛j｝｝（m-j+1）^｛2m-1｝，\，｝$

哪里

$显示样式A（n，k）=\sum_{j=0}^{k}（-1）^{j}{\binom{n+1}{j}}（k-j+1）^{n}.\，}$

另请参见

• A007338元欧拉数三角形的乘法编码。
• A008517号二阶欧拉三角形${\显示样式\脚本样式T（n，k），$.

外部链接

• 欧拉数在数学页。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,欧拉数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,欧拉数三角形，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 欧拉数—维基百科.org.